Prova 2: Relações e funções

Com o crescimento das plataformas digitais e dos sistemas de inteligência artificial utilizados nas redes sociais, algoritmos computacionais passaram a analisar padrões de interação entre usuários para recomendar conteúdos, identificar tendências e monitorar compartilhamentos de informações. Em determinado sistema de recomendação, os elementos do conjunto representam perfis digitais monitorados por uma plataforma online. Considere o conjunto $A = \{2, 3, 5, 7\}$ e a relação

em que cada par ordenado representa uma conexão registrada pelo algoritmo entre dois perfis da plataforma. Com base nessa situação, responda aos itens a seguir:

a) Verifique se todos os perfis possuem conexão consigo mesmos no sistema e mostre que a relação $R$ é reflexiva.

b) Analise as conexões registradas pelo algoritmo e mostre que a relação $R$ é transitiva.

c) Verifique se as conexões entre os perfis são recíprocas e determine se a relação $R$ é simétrica.

d) Determine se a relação $R$ é antissimétrica e interprete o resultado no contexto do sistema de interações digitais.

e) Com base nas propriedades analisadas nos itens anteriores, determine se a relação $R$ pode ser classificada como: relação de equivalência; relação de ordenação parcial; ambas ou nenhuma delas. Justifique sua resposta utilizando as propriedades da relação verificadas anteriormente.

Em sistemas computacionais utilizados em redes inteligentes de energia renovável, algoritmos frequentemente agrupam dados de sensores em classes equivalentes para otimizar o armazenamento e o processamento das informações. Em determinado sistema de monitoramento energético, dois registros são considerados equivalentes quando a diferença de seus identificadores é múltipla de 6. Considere, no conjunto dos números inteiros $\mathbb{Z}$, a relação $R$ definida por: $x \mathrel{R} y \iff x - y$ é múltiplo de 5. Assim, mostre que $R$ é uma relação de equivalência.

Em sistemas computacionais utilizados para monitoramento ambiental, funções matemáticas são frequentemente aplicadas para modelar fenômenos naturais, como o comportamento das ondas do mar, a propagação de tsunamis e o aumento do nível da água em enchentes urbanas. Em muitos softwares de previsão climática e análise de riscos, é fundamental identificar características das funções, como simetria e comportamento gráfico, pois essas propriedades auxiliam na otimização de algoritmos e no processamento eficiente dos dados coletados por sensores distribuídos em tempo real. Com base nesse contexto, responda aos questionamentos a seguir, realizando sempre a demonstração matemática que justifique sua resposta.

a) Em um sistema de monitoramento oceânico, a intensidade de propagação de determinadas ondas é representada pela função $f(x) = \dfrac{x^{8} - 4x^{2}}{x^{4}}$. Analise se a função é par, ímpar ou apenas uma função qualquer. Justifique sua resposta utilizando a definição de função par e função ímpar.

b) Em um software de monitoramento de enchentes urbanas, a velocidade de elevação do nível da água em determinada região é modelada pela função $f(x) = 7x^{5} - 2x$. Determine se a função é par, ímpar ou apenas uma função qualquer. Justifique sua resposta.

Em sistemas computacionais voltados ao monitoramento ambiental e à prevenção de desastres naturais, funções matemáticas são amplamente utilizadas para representar comportamentos de crescimento e redução de variáveis, como intensidade de ondas marítimas, nível de rios durante enchentes e propagação de alertas em redes de sensores inteligentes. Em aplicações de Análise e Desenvolvimento de Sistemas, compreender o comportamento crescente e decrescente das funções é essencial para a interpretação correta dos dados e para o desenvolvimento de algoritmos de previsão e tomada de decisão. Com base nesse contexto, responda aos itens a seguir, realizando sempre a demonstração matemática adequada.

a) Em um sistema automatizado de monitoramento de tsunamis, a velocidade de dissipação da energia das ondas ao longo do tempo é modelada pela função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, definida por $f(x) = \dfrac{6x - 10}{4}$. Mostre que a função é crescente em $\mathbb{R}$.

b) Em um software de monitoramento de enchentes urbanas, o comportamento da redução do nível da água em determinadas regiões é representado pela função $g: \mathbb{R}^{-} \to \mathbb{R}$, definida por $g(x) = 3x^{2} - 2$. Mostre que a função é decrescente em $\mathbb{R}^{-}$.

Durante o período eleitoral, sistemas computacionais são utilizados para analisar dados de pesquisas e o alcance das campanhas digitais dos candidatos. Em uma plataforma de monitoramento eleitoral, a função $f(x) = \dfrac{4x + 1}{3x - 6}$, com $f: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} - \left\{\tfrac{4}{3}\right\}$, relaciona o número de interações nas redes sociais com o índice de popularidade de um candidato. Nesse contexto, a função inversa representa a possibilidade de determinar a quantidade de interações necessárias para atingir um determinado índice de popularidade. Com base nessas informações, responda aos itens a seguir:

a) Determine, caso exista, a função inversa $f^{-1}(x)$.

b) Utilizando a função inversa encontrada, determine quantas interações nas redes sociais são necessárias para que o candidato atinja um índice de popularidade igual a $1{,}5$. Interprete o resultado no contexto do problema.

Durante o período eleitoral, sistemas computacionais e algoritmos de inteligência artificial são utilizados para monitorar o alcance de publicações e identificar possíveis fake news disseminadas nas redes sociais. Em uma plataforma digital de monitoramento eleitoral, duas funções matemáticas representam, respectivamente, o nível de propagação de conteúdos publicados e o índice de compartilhamento dessas informações entre os usuários. As funções são dadas por:

em que $a$ e $b$ são números reais desconhecidos. Sabe-se que os algoritmos da plataforma produzem exatamente o mesmo resultado independentemente da ordem em que as funções são aplicadas, ou seja: $f(g(x)) = g(f(x))$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Com base nessas informações, responda aos itens a seguir.

a) Determine os valores de $a$ e $b$.

b) Após encontrar os valores das constantes, determine a expressão final da função composta $f(g(x))$.

Sistemas computacionais utilizados em usinas solares e eólicas empregam funções matemáticas para monitorar a geração e a distribuição de energia renovável. Nesse contexto, propriedades como sobrejetividade, injetividade e bijetividade ajudam a garantir que os algoritmos interpretem corretamente os dados coletados pelos sensores da rede elétrica inteligente. Com base nesse contexto, responda aos itens a seguir, realizando sempre a demonstração matemática adequada.

a) Em um sistema de monitoramento de energia solar, a função abaixo representa a relação entre a quantidade de painéis ativos e a energia produzida: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x + 3$. Mostre que a função é sobrejetora.

b) Em um sistema de controle de turbinas eólicas, a função abaixo relaciona a velocidade do vento com a potência gerada: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, definida por $f(x) = 3x + 1$. Mostre que a função é injetora.

c) Em uma rede inteligente de distribuição de energia renovável, a função abaixo representa o comportamento do armazenamento energético: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^{3} - 9$. Mostre que a função é bijetora.

Com o crescimento das redes sociais e das plataformas de streaming, sistemas computacionais passaram a utilizar algoritmos para organizar conteúdos digitais conforme seus níveis de alcance e compartilhamento. Em determinado sistema de recomendação, dois conteúdos são relacionados quando o número de visualizações de um pode ser obtido multiplicando o número de visualizações do outro por um número natural, permitindo criar uma hierarquia de popularidade entre as publicações. Considere, no conjunto dos números inteiros positivos $\mathbb{Z}^{+}$, a relação $R$ definida por:

Assim, mostre que $R$ é uma relação de ordenação parcial.

Com os avanços da corrida espacial e o desenvolvimento de sistemas computacionais aplicados à exploração do espaço, funções matemáticas passaram a ser utilizadas para modelar trajetórias, oscilações de altitude e transmissão de sinais de satélites e foguetes. Em determinado centro de monitoramento aeroespacial, a função abaixo representa a variação da intensidade do sinal enviada por uma sonda espacial durante uma missão orbital. Considere a função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^{3} + x^{2} - 4x - 4$, em que $x$ representa o tempo de operação da sonda e $f(x)$ representa a intensidade do sinal transmitido ao centro de controle. Com base nessa situação, responda aos itens a seguir.

a) Determine qual era a intensidade do sinal transmitido pela sonda espacial no instante $x = 3$, isto é, determine a imagem de $3$.

b) Determine os instantes em que a intensidade do sinal transmitido pela sonda espacial foi nula, ou seja, determine as pré-imagens de $0$.

c) Determine a intensidade do sinal transmitido pela sonda no instante $x = 4$ e interprete o resultado no contexto do problema.

d) Analise o comportamento da função e explique o significado, no contexto da corrida espacial, dos valores encontrados no item (b).

Nos últimos anos, aplicações ligadas à Inteligência Artificial, segurança digital e análise de grandes volumes de dados têm utilizado modelos matemáticos cada vez mais sofisticados. Em sistemas computacionais modernos, funções polinomiais podem representar padrões de desempenho de algoritmos, estimativas de processamento e até modelos de otimização empregados em plataformas digitais, redes neurais e serviços de computação em nuvem. Imagine que uma empresa de tecnologia esteja analisando o desempenho de um algoritmo responsável pelo balanceamento de carga de servidores em um grande sistema de streaming. O comportamento computacional desse algoritmo pode ser modelado pela função polinomial $p(x) = x^{4} + 2x^{3} - 9x^{2} - 2x + 8$, enquanto um parâmetro associado ao processamento do sistema é representado pelo polinômio $q(x) = x - 2$. Nesse modelo computacional, as raízes do polinômio $p(x)$ representam pontos críticos de funcionamento do sistema, indicando situações em que o algoritmo altera significativamente seu comportamento operacional. Além disso, considere que a maior raiz corresponde ao maior ponto crítico do sistema e que a menor raiz corresponde ao menor ponto crítico do sistema. Com base nessas informações, determine:

a) O polinômio quociente resultante da divisão de $p(x)$ por $q(x)$.

b) O resto da divisão de $p(x)$ por $q(x)$.

c) Com base nos itens a e b, determine todas as raízes do polinômio $p(x)$.