Família de conjuntos

Um conjunto cujos elementos também são conjuntos é chamado de família de conjuntos.

Exemplo

$$F = \big\{ \{2, 3\}, \{2\}, \{5, 6, 7\} \big\}$$

É uma família cujos elementos são $\{2, 3\}$, $\{2\}$ e $\{5, 6, 7\}$. Neste caso:

• $\{2, 3\} \in F$
• $\{2\} \in F$
• $\{5, 6, 7\} \in F$

Note que $2 \notin F$ e $5 \notin F$, pois os elementos de $F$ são conjuntos, não números.

Outro exemplo

$$F = \big\{ \{2, 3\},\ 2,\ \{5\} \big\}$$

• $\{2, 3\} \in F$, mas $3 \notin F$
• $\{2\} \notin F$, mas $2 \in F$
• $\{5\} \in F$, mas $5 \notin F$

Note que $2 \in F$ diretamente (como elemento), mesmo $F$ sendo, em geral, uma família de conjuntos — nada impede que uma família também contenha elementos que não são conjuntos.

Cardinalidade de uma família

A cardinalidade de uma família é a quantidade de conjuntos (elementos) que ela possui, exatamente como para qualquer outro conjunto.

$$F = \big\{ \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\} \big\} \quad\Rightarrow\quad \operatorname{Card}(F) = 3$$

Subfamília

Uma subfamília de $F$ é qualquer subconjunto de $F$, isto é, uma família $G$ tal que $G \subseteq F$. Segue-se exatamente a mesma definição de subconjunto vista em Relação entre conjuntos.

Sejam $F = \big\{ \{2, 3\}, \{2\}, \{5, 6, 7\} \big\}$. Então $G = \big\{ \{2\}, \{5, 6, 7\} \big\}$ é uma subfamília de $F$, pois todo elemento de $G$ também é elemento de $F$.