Produto cartesiano

Sejam $A$ e $B$ dois subconjuntos quaisquer. O conjunto de todos os pares ordenados $(x, y)$ com $x \in A$ e $y \in B$ é chamado de produto cartesiano de $A$ e $B$, representado por $A \times B$:

$$A \times B = \{(x, y) / x \in A \text{ e } y \in B\}$$

Ou seja, é o conjunto de todos os pares ordenados cujos primeiros elementos pertencem a $A$ e os segundos pertencem a $B$.

Par ordenado significa que a posição importa: $(x, y) = (a, b)$ se, e somente se, $x = a$ e $y = b$. Por isso $(1, 3)$ e $(3, 1)$ são pares diferentes, ainda que envolvam os mesmos números — diferente de um conjunto $\{1, 3\}$, onde a ordem não importa.

Essa assimetria se reflete direto no produto cartesiano: como o primeiro elemento do par vem de $A$ e o segundo vem de $B$, em geral

$$A \times B \neq B \times A$$

(a não ser que $A = B$ ou que algum dos dois seja vazio). O exemplo abaixo mostra isso na prática.

Um caso particular importante é $A \times A$, também escrito $A^{2}$: o produto de um conjunto por ele mesmo. Quando $A = \mathbb{R}$, $\mathbb{R}^2$ é exatamente o plano cartesiano — cada ponto $(x, y)$ é um par ordenado de números reais.

Exemplo

Sejam $A = \{1, 2\}$ e $B = \{3, 4\}$.

a) $A \times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$

b) $B \times A = \{(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)\}$

c) $A^{2} = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\}$

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