Função inversa

Seja $f : A \to B$ uma função bijetora. Assim, a relação inversa de $f$ é uma função de $B$ em $A$, chamada de função inversa de $f$ e denotada por $f^{-1}$. Também é bijetora, isto é:

$$(x, y) \in f \Leftrightarrow (y, x) \in f^{-1} \qquad f(x) = y \Leftrightarrow f^{-1}(y) = x$$

A função inversa é composta pelos pares ordenados obtidos pela inversão da ordem dos elementos dos pares ordenados da função original. Ou seja, a função $f : A \to B$ associa cada elemento $x \in A$ a um elemento correspondente $y \in B$; já a função $f^{-1}$ associa cada elemento $y \in B$ ao elemento correspondente $x \in A$.

Por que $f$ precisa ser bijetora para ter inversa? Ao inverter os pares ordenados de $f$, o resultado só é uma função de $B$ em $A$ se valerem F1 e F2 para essa relação invertida:

• $f$ sobrejetora garante F1 da inversa: todo $y \in B$ tinha alguma pré-imagem em $f$, então todo $y$ vira um "domínio válido" para $f^{-1}$.
• $f$ injetora garante F2 da inversa: se dois $x$ diferentes mandassem para o mesmo $y$, a relação invertida associaria esse $y$ a dois valores distintos, violando unicidade.

Uma consequência direta da definição é que aplicar $f$ e $f^{-1}$ em sequência (em qualquer ordem) devolve o valor original:

$$f^{-1}(f(x)) = x, \quad \forall x \in A \qquad\qquad f(f^{-1}(y)) = y, \quad \forall y \in B$$

Exercícios