Função inversa

Seja $f : A \to B$ uma função bijetora. Assim, a relação inversa de $f$ é uma função de $B$ em $A$, chamada de função inversa de $f$ e denotada por $f^{-1}$. Também é bijetora, isto é:

$$(x, y) \in f \Leftrightarrow (y, x) \in f^{-1} \qquad f(x) = y \Leftrightarrow f^{-1}(y) = x$$

A função inversa é composta pelos pares ordenados obtidos pela inversão da ordem dos elementos dos pares ordenados da função original. Ou seja, a função $f : A \to B$ associa cada elemento $x \in A$ a um elemento correspondente $y \in B$; já a função $f^{-1}$ associa cada elemento $y \in B$ ao elemento correspondente $x \in A$.

Por que $f$ precisa ser bijetora para ter inversa? Ao inverter os pares ordenados de $f$, o resultado só é uma função de $B$ em $A$ se valerem F1 e F2 para essa relação invertida:

• $f$ sobrejetora garante F1 da inversa: todo $y \in B$ tinha alguma pré-imagem em $f$, então todo $y$ vira um "domínio válido" para $f^{-1}$.
• $f$ injetora garante F2 da inversa: se dois $x$ diferentes mandassem para o mesmo $y$, a relação invertida associaria esse $y$ a dois valores distintos, violando unicidade.

Como verificar se uma função é sobrejetora

O procedimento é sempre:

1. Escolha um elemento qualquer $y$ do contradomínio $B$.
2. Resolva a equação $y = f(x)$, isolando $x$ em função de $y$.
3. Verifique se o $x$ encontrado pertence ao domínio $A$.

• Se isso ocorrer para todo $y \in B$, a função é sobrejetora.
• Se existir algum $y \in B$ para o qual o $x$ encontrado não pertença a $A$, a função não é sobrejetora.

Exemplo 1

Considere:

$$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \qquad f(x) = 2x - 5$$

Começamos com:

$$y = f(x)$$

Substituindo:

$$y = 2x - 5$$ $$y + 5 = 2x$$ $$x = \dfrac{y + 5}{2}$$

Como, para qualquer $y \in \mathbb{R}$, o $x$ encontrado também pertence a $\mathbb{R}$, a função é sobrejetora.

Exemplo 2

Considere:

$$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \qquad f(x) = x^{2}$$

Começamos com:

$$y = f(x)$$

Substituindo:

$$y = x^{2}$$ $$x = \pm\sqrt{y}$$

Por exemplo, tome $y = -4 \in \mathbb{R}$ (o contradomínio). Não existe $x \in \mathbb{R}$ tal que $x^{2} = -4$. Portanto, a função não é sobrejetora.

Resumo

$$\boxed{\forall y \in B,\ \exists x \in A / y = f(x)}$$

Se isso valer para todo $y \in B$, a função é sobrejetora.

$$\boxed{\exists y \in B \mid \nexists x \in A / y = f(x)}$$

Se existir algum caso assim, a função não é sobrejetora.

Como verificar se uma função é injetora

O procedimento é sempre:

$$f(x) = f(y)$$

Depois, substitua a fórmula da função e resolva.

• Se obrigatoriamente chegar em:

$$x = y$$

a função é injetora.

• Se for possível encontrar $x \ne y$ com:

$$f(x) = f(y)$$

a função não é injetora.

Exemplo 1

Considere:

$$f(x) = 5x - 2$$

Começamos com:

$$f(x) = f(y)$$

Substituindo:

$$5x - 2 = 5y - 2$$ $$5x = 5y$$ $$x = y$$

Como necessariamente $x = y$, a função é injetora.

Exemplo 2

Considere:

$$f(x) = x^{2} + 1$$

Começamos:

$$f(x) = f(y)$$

Substituindo:

$$x^{2} + 1 = y^{2} + 1$$ $$x^{2} = y^{2}$$

Isso pode acontecer quando:

$$x = y$$

ou quando:

$$x = -y$$

Por exemplo:

$$x = 3, \qquad y = -3$$

Então:

$$f(3) = 10 \qquad \text{e} \qquad f(-3) = 10$$

Temos duas entradas diferentes produzindo a mesma saída. Portanto, a função não é injetora.

Resumo

$$\boxed{f(x) = f(y) \Rightarrow x = y}$$

Se essa igualdade valer sempre, ou seja, sem exceção, a função é injetora.

$$\boxed{x \ne y \quad \text{e} \quad f(x) = f(y)}$$

Se existir algum caso assim, a função não é injetora.

Uma consequência direta da definição é que aplicar $f$ e $f^{-1}$ em sequência (em qualquer ordem) devolve o valor original:

$$f^{-1}(f(x)) = x, \quad \forall x \in A \qquad\qquad f(f^{-1}(y)) = y, \quad \forall y \in B$$

Exemplo

Seja $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = 2x + 3$. Vamos calcular $f^{-1}(x)$.

1. Escreva $y = f(x)$:

$$y = 2x + 3$$

2. Isole $x$ em função de $y$:

$$y - 3 = 2x \qquad \Rightarrow \qquad x = \dfrac{y - 3}{2}$$

3. Troque os nomes das variáveis (o $x$ isolado acima passa a ser escrito como função de $x$):

$$f^{-1}(x) = \dfrac{x - 3}{2}$$

Para conferir, basta aplicar a propriedade $f^{-1}(f(x)) = x$: $f(x) = 2x + 3$, logo $f^{-1}(f(x)) = \dfrac{(2x + 3) - 3}{2} = \dfrac{2x}{2} = x$. $\blacksquare$

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