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Função sobrejetora

1 min de leituraPré-requisitos:Funções

Uma função $f : A \to B$ é sobrejetora se, e somente se, a imagem de $f$ é igual ao contradomínio, isto é:

f \text{ é sobrejetora} \Leftrightarrow \forall y \in B,\ \exists x \in A / y = f(x)

Em palavras: nenhum elemento do contradomínio $B$ fica de fora — todo $y \in B$ é atingido por pelo menos um $x \in A$ (pode até ser atingido por mais de um; sobrejetora não exige unicidade, só existência).

Como provar ou refutar

Para provar que $f$ é sobrejetora: parta de um $y \in B$ arbitrário, isole $x$ na equação $y = f(x)$ e mostre que esse $x$ existe e pertence a $A$ . É a estratégia usada em todos os exercícios abaixo — encontrar $x = f^{-1}(y)$ e conferir se ele está no domínio.

Para refutar: basta um contraexemplo — um $y \in B$ para o qual a equação $y = f(x)$ não tem solução em $A$ .

O contradomínio $B$ faz parte da definição da função, então trocar $B$ pode trocar a resposta mesmo mantendo a mesma fórmula. É o que os dois últimos exercícios desta página mostram: $f(x) = 2x - 3$ é sobrejetora quando $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , mas deixa de ser quando o contradomínio é restrito a $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ , pois nem todo inteiro $y$ tem $\frac{y+3}{2}$ inteiro.

Exercícios

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^{3}$ é sobrejetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x - 1$ é sobrejetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x + 4$ é sobrejetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^{2} - 4$ não é sobrejetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x - 3$ é sobrejetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ definida por $f(x) = 2x - 3$ não é sobrejetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{Z}

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Função sobrejetora

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Uma função $f : A \to B$ é sobrejetora se, e somente se, a imagem de $f$ é igual ao contradomínio, isto é:

f \text{ é sobrejetora} \Leftrightarrow \forall y \in B,\ \exists x \in A / y = f(x)

Como provar ou refutar

Para refutar: basta um contraexemplo — um $y \in B$ para o qual a equação $y = f(x)$ não tem solução em $A$ .

Exercícios

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^{3}$ é sobrejetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x - 1$ é sobrejetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x + 4$ é sobrejetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^{2} - 4$ não é sobrejetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x - 3$ é sobrejetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ definida por $f(x) = 2x - 3$ não é sobrejetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{Z}

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