Técnicas de demonstração

Resultados matemáticos geralmente são expressos como teoremas da forma "Se $P$, então $Q$" ou $P \Rightarrow Q$, onde $P$ e $Q$ podem representar sentenças compostas.

Quando nos propomos a fazer uma demonstração, devemos procurar expressar de forma concisa, usando uma linguagem natural, com sentenças completas, bem como identificar cada objeto usando sua definição e possíveis propriedades. Assim, tentaremos deduzir $Q$ de $P$, utilizando uma sequência lógica de passos que começam em $P$ (que chamamos de hipótese) e terminam em $Q$ (que chamamos de tese).

Geralmente organizaremos um teorema para ser demonstrado da seguinte forma $(\forall x)[p(x) \Rightarrow Q(x)]$. Se podemos provar que $p(x) \Rightarrow Q(x)$ onde $x$ é tratado como um elemento arbitrário do domínio, teremos então provado $(\forall x)[p(x) \Rightarrow Q(x)]$.

Raciocínio indutivo e dedutivo

Supondo que você é um pesquisador tentando formular e demonstrar um teorema, e examinou um conjunto de casos nos quais, se $P$ é verdadeira, então $Q$ também é verdadeira. Por exemplo, você pode ter examinado vários inteiros divisíveis por $6$ e constatado que estes inteiros também são divisíveis por $3$. Com base nessa experiência, você pode conjecturar: se $P$, então $Q$ (se um número é divisível por $6$, ele também é divisível por $3$).

Quantos mais casos você encontrar em que $Q$ resulta de $P$, mais confiante você estará em sua conjectura. Isto ilustra o raciocínio indutivo, construindo uma conclusão baseada na experiência.

Não importa o quanto a conjectura pareça confiável, é necessário aplicar o raciocínio dedutivo para verificar se sua conjectura é de fato verdadeira. Para tanto, pode-se elaborar a prova de que $P \Rightarrow Q$ (construindo um teorema) ou então encontrar um exemplo que contrarie sua conjectura (contra-exemplo).

Da conjectura à demonstração formal

Retomando o exemplo acima: a conjectura "se um número é divisível por $6$, então é divisível por $3$" nasceu do raciocínio indutivo (observação de vários casos). O raciocínio dedutivo transforma essa conjectura em teorema, mostrando-a a partir da hipótese, com uma sequência lógica de passos — exatamente a estrutura que veremos em detalhe em Demonstração direta.

Note a diferença: o raciocínio indutivo nos deu a confiança de que a conjectura era razoável; o raciocínio dedutivo, acima, nos deu a certeza, porque parte de uma hipótese geral (qualquer $x$ divisível por $6$) e não de casos particulares.

Exercícios