Demonstração por contraposição

$P$: "$x$ é divisível por $6$"   $Q$: "$x$ é divisível por $3$".

Contrapositiva ($\lnot Q \Rightarrow \lnot P$): se $x$ não é divisível por $3$, então $x$ não é divisível por $6$.

Provamos essa versão diretamente: se $x$ não é divisível por $3$, então em particular $x$ não pode ser escrito como $x = 6m = 3(2m)$ para nenhum $m \in \mathbb{Z}$ (pois isso o tornaria divisível por $3$). Logo $x$ não é divisível por $6$, ou seja, $\lnot Q \Rightarrow \lnot P$. Pela tautologia, $P \Rightarrow Q$. $\blacksquare$

Hipótese: $x^{2} = 2k + 1$, $k \in \mathbb{Z}$.   Tese: $x = 2m + 1$, $m \in \mathbb{Z}$.

Por contraposição, temos que $x = 2m$, com $m \in \mathbb{Z}$. Assim $x^{2} = (2m)^{2} = 4m^{2} = 2(2m^{2})$. Logo $x^{2}$ é par. Assim $\lnot Q \Rightarrow \lnot P$. Logo a afirmação é verdadeira. $\blacksquare$

Hipótese: $m = 2k + 1$, $k \in \mathbb{Z}$.

Por contraposição, supomos $3m + 9$ ímpar e concluímos que $m$ é par: se $m = 2k$, então $3m + 9 = 3(2k) + 9 = 6k + 9 = 2(3k + 4) + 1$, ímpar. Assim $\lnot Q \Rightarrow \lnot P$, e a afirmação é verdadeira. $\blacksquare$

Hipótese: $x = 2k$ e $y = 2m + 1$, com $k, m \in \mathbb{Z}$.

$x + y = 2k + (2m + 1) = 2(k + m) + 1$, que é ímpar. $\blacksquare$

Note que esta prova é direta, não por contraposição: aqui a hipótese $P$ é composta ("$x$ par e $y$ ímpar"), e negar uma conjunção produz uma disjunção ($x$ ímpar ou $y$ par) que não simplifica a álgebra — a prova direta já é natural. Contraposição vale a pena quando negar a tese dá algo mais fácil de manipular do que a hipótese original, como nos exercícios anteriores.