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Prova 2 — Funções e relações

8 min de leituraPré-requisitos:Funções Relações

Avaliação 2 de Matemática Aplicada à Computação — Instituto Federal da Paraíba, curso de Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas, 1º período, semestre 2023.1, professor Suemilton Nunes Gervázio. Cobre funções (raízes, domínio, monotonicidade, paridade, composição, inversa, injetora/sobrejetora/bijetora) e relações (equivalência e ordenação parcial). Tente cada questão sozinho antes de abrir a resposta.

Questão 1 1,0 pt

Considere a função polinomial $p(x) = x^{4} - 5x^{2} + 4$ . Sabendo que $1$ é raiz dessa função, então determine todas as suas raízes.

p(x)

Resposta

S = \{-2, -1, 1, 2\}

Questão 2 1,0 pt

Seja, $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ e $g: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , com $f(x) = x^{2} - 4$ e $g(x) = x - 2$ . Assim, em relação a operação entre as funções $f(x)/g(x)$ e o seu domínio, teremos que:

a) $f(x)/g(x) = x + 2$ e $D = \mathbb{R} - \{-2\}$
b) $f(x)/g(x) = x - 2$ e $D = \mathbb{R} - \{-2\}$
c) $f(x)/g(x) = x - 2$ e $D = \mathbb{R}$
d) $f(x)/g(x) = x + 2$ e $D = \mathbb{R}$
e) $f(x)/g(x) = (x^{2} - 4)/(x + 2)$ e $D = \mathbb{R} - \{2\}$

f(x) = x^{2} - 4 = (x-2)(x+2)

Resposta

f(x)/g(x) = x + 2

Questão 3 1,0 pt

Mostre que:

a) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = -2x + 8$ é decrescente em $\mathbb{R}$ .

b) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = 6x - 7$ é crescente em $\mathbb{R}$ .

Resposta

(\forall a,b) \in \mathbb{R},\; a > b \iff f(a) < f(b). \text{ Assim, a função é decrescente}

Questão 4 1,0 pt

Responda aos questionamentos a seguir, fazendo sempre a demostração condizente com a sua resposta.

a) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = (x^{3} - 2x)/x^{5}$ é ímpar, par ou apenas uma função? Justifique a sua resposta.

b) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = x^{2} - x + 1$ é ímpar, par ou apenas uma função? Justifique a sua resposta.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}, \text{ temos que}

Questão 5 1,0 pt

Seja $f: \mathbb{R} - \{0\} \Rightarrow \mathbb{R} - \{2\}$ uma função definida por $f(x) = (2x + 4)/x$ , então determine (caso exista) $f^{-1}(x)$ .

f(x)

Resposta

f^{-1}(x) = \frac{4}{x-2}

Questão 6 Mackenzie – SP, adaptada — 1,0 pt

As funções $f(x) = -8x + 6$ e $g(x) = 4x + m$ são tais que $f(g(x)) = g(f(x))$ , qualquer que seja $x$ real. Então, qual é o valor de $m$ ?

a) $m = -9$
b) $m = 9$
c) $m = -2$
d) $m = 2$
e) $m = 3$

g(x)

Resposta

m = -2

Questão 7 1,0 pt

Mostre que:

a) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x + 2$ é injetora.

b) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x + 1$ é bijetora.

c) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x - 3$ é sobrejetora.

Resposta

(\forall x,y) \in \mathbb{R},\; f(x) = f(y) \Rightarrow x = y

Questão 8 1,0 pt

Mostre que no conjunto $\mathbb{R}$ dos números reais a relação $R$ definida por $xpy \Leftrightarrow x - y$ é um número inteiro é uma relação de equivalência.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R},\; xpx \Leftrightarrow x-x = \beta, \text{ com } \beta \in \mathbb{Z}

Questão 9 1,0 pt

Mostre que no conjunto dos números inteiros a relação $R$ definida por $xpy \Leftrightarrow x - y$ é múltiplo de $3$ é uma relação de equivalência.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{Z},\; xpx \Leftrightarrow x-x = 3k, \text{ com } k \in \mathbb{Z}

Questão 10 1,0 pt

Para $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = x^{2} - 3x - 10$ , determine:

a) Qual é a imagem de $-2$

b) Quais são as pré-imagens de $0$ ?

x = -2

Resposta

0

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Questão 1 1,0 pt

Considere a função polinomial $p(x) = x^{4} - 5x^{2} + 4$ . Sabendo que $1$ é raiz dessa função, então determine todas as suas raízes.

p(x)

Resposta

S = \{-2, -1, 1, 2\}

Questão 2 1,0 pt

a) $f(x)/g(x) = x + 2$ e $D = \mathbb{R} - \{-2\}$
b) $f(x)/g(x) = x - 2$ e $D = \mathbb{R} - \{-2\}$
c) $f(x)/g(x) = x - 2$ e $D = \mathbb{R}$
d) $f(x)/g(x) = x + 2$ e $D = \mathbb{R}$
e) $f(x)/g(x) = (x^{2} - 4)/(x + 2)$ e $D = \mathbb{R} - \{2\}$

f(x) = x^{2} - 4 = (x-2)(x+2)

Resposta

f(x)/g(x) = x + 2

Questão 3 1,0 pt

Mostre que:

a) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = -2x + 8$ é decrescente em $\mathbb{R}$ .

b) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = 6x - 7$ é crescente em $\mathbb{R}$ .

Resposta

(\forall a,b) \in \mathbb{R},\; a > b \iff f(a) < f(b). \text{ Assim, a função é decrescente}

Questão 4 1,0 pt

Responda aos questionamentos a seguir, fazendo sempre a demostração condizente com a sua resposta.

a) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = (x^{3} - 2x)/x^{5}$ é ímpar, par ou apenas uma função? Justifique a sua resposta.

b) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = x^{2} - x + 1$ é ímpar, par ou apenas uma função? Justifique a sua resposta.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}, \text{ temos que}

Questão 5 1,0 pt

Seja $f: \mathbb{R} - \{0\} \Rightarrow \mathbb{R} - \{2\}$ uma função definida por $f(x) = (2x + 4)/x$ , então determine (caso exista) $f^{-1}(x)$ .

f(x)

Resposta

f^{-1}(x) = \frac{4}{x-2}

Questão 6 Mackenzie – SP, adaptada — 1,0 pt

As funções $f(x) = -8x + 6$ e $g(x) = 4x + m$ são tais que $f(g(x)) = g(f(x))$ , qualquer que seja $x$ real. Então, qual é o valor de $m$ ?

a) $m = -9$
b) $m = 9$
c) $m = -2$
d) $m = 2$
e) $m = 3$

g(x)

Resposta

m = -2

Questão 7 1,0 pt

Mostre que:

a) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x + 2$ é injetora.

b) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x + 1$ é bijetora.

c) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x - 3$ é sobrejetora.

Resposta

(\forall x,y) \in \mathbb{R},\; f(x) = f(y) \Rightarrow x = y

Questão 8 1,0 pt

Mostre que no conjunto $\mathbb{R}$ dos números reais a relação $R$ definida por $xpy \Leftrightarrow x - y$ é um número inteiro é uma relação de equivalência.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R},\; xpx \Leftrightarrow x-x = \beta, \text{ com } \beta \in \mathbb{Z}

Questão 9 1,0 pt

Mostre que no conjunto dos números inteiros a relação $R$ definida por $xpy \Leftrightarrow x - y$ é múltiplo de $3$ é uma relação de equivalência.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{Z},\; xpx \Leftrightarrow x-x = 3k, \text{ com } k \in \mathbb{Z}

Questão 10 1,0 pt

Para $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = x^{2} - 3x - 10$ , determine:

a) Qual é a imagem de $-2$

b) Quais são as pré-imagens de $0$ ?

x = -2

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