Operações binárias e unárias

Um conjunto por si só não é objeto de muito interesse até que se faça "algo" com seus elementos. Operações binárias e unárias são exatamente esse "algo": regras que combinam ou transformam elementos de um conjunto, produzindo sempre um resultado dentro do próprio conjunto.

Operação binária

$\circ$ é uma operação binária sobre um conjunto $S$ se, para qualquer par ordenado $(x, y)$ de elementos de $S$, $x \circ y$ existe, é único e é elemento de $S$.

Em outras palavras, uma operação binária pega dois elementos de $S$ (na ordem em que aparecem) e devolve um resultado, e esse resultado precisa satisfazer três condições ao mesmo tempo:

• Existência: $x \circ y$ está definido para todo par $(x, y)$ de $S$ — não pode haver um caso em que a operação simplesmente não faça sentido.
• Unicidade: $x \circ y$ tem um único valor — não pode haver ambiguidade sobre o resultado.
• Fechamento: $x \circ y \in S$ — o resultado não pode "escapar" do conjunto.

Quando essas três condições valem para todo par de $S$, dizemos que $S$ é fechado em relação a $\circ$. Essa ideia de fechamento é o ponto que mais costuma falhar nos exemplos abaixo: a operação pode até existir e ser única, mas se o resultado cai fora do conjunto, ela deixa de ser uma operação binária sobre esse conjunto.

A adição, a subtração e a multiplicação são todas operações binárias em $\mathbb{Z}$. Por exemplo, quando realizamos a adição no par ordenado $(x, y)$ de $\mathbb{Z}$, $x + y$ existe, é único e é inteiro.

Operação	Em $\mathbb{Z}$	Em $\mathbb{N}$	Motivo quando falha
Adição	✔️	✔️	—
Subtração	✔️	❌	$2 - 5 = -3 \notin \mathbb{N}$
Multiplicação	✔️	✔️	—
Divisão	❌	❌	$7 / 2 = 3{,}5$ não é inteiro nem natural

Operação unária

Uma operação unária atua em um único número de um conjunto. Assim, para $\#$ ser uma operação unária no conjunto $S$, é preciso que, para qualquer $x \in S$, $x^{\#}$ exista, seja único e seja um elemento de $S$.

É a mesma ideia da operação binária, só que com um elemento de entrada em vez de dois: as três condições (existência, unicidade e fechamento) continuam valendo, só muda a aridade — quantos elementos a operação recebe. Por isso o $\#$ na notação $x^{\#}$ é só um símbolo genérico para "aplique alguma transformação a $x$"; na prática essa transformação pode ser qualquer regra, como $-x$, $x^2$, $|x|$ ou $\sqrt{x}$.