Prova 2 — Funções e relações

Considere a função polinomial $p(x) = x^{4} - 2x^{3} - 45x^{2} - 34x + 80$ e o polinômio $q(x) = x + 2$. Assim, determine:

a) O resto da divisão de $p(x)$ por $q(x)$

b) O polinômio resultante da divisão de $p(x)$ por $q(x)$

Seja $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ e $g: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$, com $f(x) = 6x^{4} - 10x^{3} + 9x^{2} + 9x - 5$ e $g(x) = 2x^

• 4x + 5$. Assim, em relação à operação entre as funções$f(x)/g(x)$ e o seu domínio, teremos que:

1. a)$f(x)/g(x) = 3x^{2}+x-1$ e $\mathbb{R} - \{-2,5\}$
2. b)$f(x)/g(x) = 3x^{2}+x-1$ e $D = \mathbb{R} - \{1,3\}$
3. c)

   $f(x)/g(x) = \dfrac{6x^{4}-10x^{3}+9x^{2}-5}{2x^{2}-4x+5}$ e $D = \mathbb{R} - \{1,3\}$

4. d)$f(x)/g(x) = x^{2}-3x-10$ e $D = \mathbb{R}$
5. e)$f(x)/g(x) = 3x^{2}+x-1$ e $D = \mathbb{R}$

Mostre que:

a) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$, definida por $f(x) = -6x - 11$, é decrescente em $\mathbb{R}$.

b) A função $f: \mathbb{R}^{+} \Rightarrow \mathbb{R}^{+}$, definida por $f(x) = x^{2}$, é crescente em $\mathbb{R}^{+}$.

Responda aos questionamentos a seguir, fazendo sempre a demonstração condizente com a sua resposta.

a) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$, definida por $f(x) = \dfrac{x^{5}-2x}{x^{9}}$, é uma função ímpar, par ou apenas uma função?

b) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$, definida por $f(x) = x^{2}+2x$, é uma função ímpar, par ou apenas uma função?

Seja $f: \mathbb{R} - \{4\} \Rightarrow \mathbb{R} - \{5\}$ uma função definida por $f(x) = \dfrac{5x+8}{x-4}$, então determine (caso exista) $f^{-1}(x)$.

Uma função $f$ satisfaz a identidade $f(a \cdot x) = a \cdot f(x)$ para todos os números reais $a$ e $x$. Além disso, sabe-se que $f(4) = 2$. Considere ainda a função $g(x) = f(x-1)+1$ para todo número real $x$. Assim, com base nessas informações, responda os itens a seguir:

a) Qual é o valor de $g(5)$?

b) Qual é o valor de $f(x)$, para todo $x$ real?

c) Qual é o valor de $x$ na equação $g(x) = 11$?

d) Qual é o valor de $f(g(x))$, para todo $x$ real?

Mostre que:

a) A função $f: (0,+\infty) \Rightarrow (-2,+\infty)$ definida por $f(x) = 3x^{2}-2$ é sobrejetora.

b) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x-6$ é injetora.

c) A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^{3}-7$ é bijetora.

Mostre que no conjunto $\mathbb{Z}$ dos números inteiros a relação $R$ definida por $x \mathrel{R} y \iff x+y$ é um número par, é uma relação de equivalência.

Mostre que no conjunto $\mathbb{Z}^{+}$ dos números inteiros positivos a relação $R$ definida por $x \mathrel{R} y \iff x \le y$ é uma relação de ordenação parcial.

Para $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = -2x^{2}+3x+2$, determine:

a) Qual é a imagem de $-5$?

b) Quais são as pré-imagens de $0$?