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Listas de exercícios do semestre 2026.2, disciplina Matemática Aplicada à Computação (Instituto Federal da Paraíba, Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas, 1º período). Nesta seção --- Lista 1: Matrizes e conjuntos Lista de exercícios 1 de Matemática Aplicada à Computação (2026.2), com resolução comentada. Lista de exercícios 1 de Matemática Aplicada à Computação, Instituto Federal da Paraíba, curso de Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas, 1º período, semestre 2026.2, professor Suemilton Nunes Gervázio. Cobre matrizes, matrizes booleanas e teoria dos conjuntos. Tente cada questão sozinho antes de abrir a resposta.Questão 1A = [5 3 x y − 2; y − 2 − 3 x + 4; 18 10 6]Para que o modelo seja consistente com o princípio de que a interação entre dois componentes possui a mesma intensidade em ambos os sentidos, a matriz A deve ser simétrica. Sabendo que x, y ∈ ℝ, determine o valor da expressão 2 x 2 − 3 y + 7.A é simétrica quando a ij = a ji para todo par (i, j). As três posições espelhadas fora da diagonal dão:Posições (1, 3) e (3, 1): y − 2 = 18 ⇒ y = 20Posições (2, 3) e (3, 2): x + 4 = 10 ⇒ x = 6Posições (1, 2) e (2, 1): 3 x = y − 2As duas primeiras condições já fixam x e y sozinhas, porque comparam uma expressão com um número. Substituindo na terceira para conferir:3 x = 3 (6) = 18 y − 2 = 20 − 2 = 18 18 = 18 ✓Com x = 6 e y = 20:2 x 2 − 3 y + 7 = 2 (36) − 3 (20) + 7 = 72 − 60 + 7 = 19Questão 2A = [2 x + 2 2 z − 1; y − 3 5 3 x − 2; z + 4 y + 1 − 1]Sabendo que A é simétrica e que x, y, z ∈ ℝ, determine o valor de x 2 + y 2 + z 2 − xy + 3 z.Comparando as posições espelhadas (a ij = a ji):Posições (1, 3) e (3, 1): 2 z − 1 = z + 4 ⇒ z = 5Posições (1, 2) e (2, 1): x + 2 = y − 3 ⇒ y = x + 5Posições (2, 3) e (3, 2): 3 x − 2 = y + 1Substituindo y = x + 5 na última equação:3 x − 2 = x + 5 + 1 ⇒ 3 x − 2 = x + 6 ⇒ 2 x = 8 ⇒ x = 4Logo y = 4 + 5 = 9 e z = 5. Conferindo: x + 2 = 6 = y − 3 ✓, 3 x − 2 = 10 = y + 1 ✓, 2 z − 1 = 9 = z + 4 ✓.x 2 + y 2 + z 2 − xy + 3 z = 16 + 81 + 25 − 36 + 15 = 101Questão 3A = [2 3 1; − 1 0 2] B = [1 − 2; 0 5; 4 1]C 22 é o produto da linha 2 de A pela coluna 2 de B:C 22 = (− 1) (− 2) + (0) (5) + (2) (1) = 2 + 0 + 2 = 4Questão 4B = [10 2; 3 − 1]Assim, determine A × B e B × (− 2 A).Calculando cada termo de A com a ij = 3 i − 2 j + 1:a 11 = 3 (1) − 2 (1) + 1 = 2 a 12 = 3 (1) − 2 (2) + 1 = 0a 21 = 3 (2) − 2 (1) + 1 = 5 a 22 = 3 (2) − 2 (2) + 1 = 3A = [2 0; 5 3]A × B = [2 (10) + 0 (3) 2 (2) + 0 (− 1); 5 (10) + 3 (3) 5 (2) + 3 (− 1)] = [20 4; 59 7]Para B × (− 2 A), primeiro multiplicamos A por − 2:− 2 A = [− 4 0; − 10 − 6]B × (− 2 A) = [10 (− 4) + 2 (− 10) 10 (0) + 2 (− 6); 3 (− 4) + (− 1) (− 10) 3 (0) + (− 1) (− 6)] = [− 60 − 12; − 2 6]Questão 5 SEEDUCRJ, adaptadaA = [2 − 1; 1 0] B = [3 1; 1 2]onde se tem que A ⋅ X = A + B. Assim, determine a matriz X.Primeiro calculamos A + B:A + B = [5 0; 2 2]Escrevendo X = \[a b; c d], temos:A ⋅ X = [2 − 1; 1 0] [a b; c d] = [2 a − c 2 b − d; a b]Igualando a A + B, posição por posição:(2, 1): a = 2(2, 2): b = 2(1, 1): 2 a − c = 5 ⇒ 4 − c = 5 ⇒ c = − 1(1, 2): 2 b − d = 0 ⇒ 4 − d = 0 ⇒ d = 4Questão 6 Anglo, adaptadaA = [x + 3 11; 9 2 y − 7] B = [− 4 − 5; 2 9] C = [− 1 16; 7 4]Sabendo que A = B + C, então qual é o valor de 2 x − 3 y?Somando B + C termo a termo:B + C = [− 5 11; 9 13]Igualando a A, posição por posição:x + 3 = − 5 ⇒ x = − 82 y − 7 = 13 ⇒ 2 y = 20 ⇒ y = 102 x − 3 y = 2 (− 8) − 3 (10) = − 16 − 30 = − 46Questão 7A = [1 2 3; 0 1 4; 0 0 1] B = [1 − 2 5; 0 1 − 4; 0 0 1]Então qual a matriz resultante de \[A ⋅ B] 2023?Calculando A ⋅ B termo a termo:A ⋅ B = [1 (1) + 2 (0) + 3 (0) 1 (− 2) + 2 (1) + 3 (0) 1 (5) + 2 (− 4) + 3 (1); 0 (1) + 1 (0) + 4 (0) 0 (− 2) + 1 (1) + 4 (0) 0 (5) + 1 (− 4) + 4 (1); 0 (1) + 0 (0) + 1 (0) 0 (− 2) + 0 (1) + 1 (0) 0 (5) + 0 (− 4) + 1 (1)] = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1] = I 3Como A ⋅ B = I 3, qualquer potência da identidade é ela mesma:[A ⋅ B] 2023 = I 3 2023 = I 3Questão 8 Anglo, adaptadaA = [0 − 1; − 1 0] B = [1 1; 0 1]Qual é a matriz equivalente a A 102?O caminho mais direto é calcular A 2:A 2 = [0 − 1; − 1 0] [0 − 1; − 1 0] = [1 0; 0 1] = I 2Como A 2 = I 2, toda potência par de A é I 2. Sendo 102 par:A 102 = (A 2) 51 = I 2 51 = I 2Questão 9 Anglo, adaptadaB 2 = B ⋅ B = [1 1; 0 1] [1 1; 0 1] = [1 2; 0 1]B 3 = B 2 ⋅ B = [1 2; 0 1] [1 1; 0 1] = [1 3; 0 1]Questão 10 Anglo, adaptadaUsando os resultados das questões 8 e 9, A 102 = I 2 e B 3 = \[1 3; 0 1]. Multiplicar por I 2 não altera a matriz:A 102 ⋅ B 3 = I 2 ⋅ [1 3; 0 1] = [1 3; 0 1]Questão 11 Cefet MGA = (2 5; 1 x) B = (3 y; − 1 2)Se A é inversa de B, então B ⋅ A = I 2:B ⋅ A = (3 y; − 1 2) (2 5; 1 x) = (6 + y 15 + xy; − 2 + 2 − 5 + 2 x) = (1 0; 0 1)Da posição (1, 1): 6 + y = 1 ⇒ y = − 5Da posição (2, 2): − 5 + 2 x = 1 ⇒ x = 3Conferindo na posição (1, 2): 15 + xy = 15 + 3 (− 5) = 0 ✓x − y = 3 − (− 5) = 8Questão 12A = (1 0; 0 1) B = (0 0; 1 1) C = (1 0; 1 1)Assim, determine:a) A ∨ Bb) A ∨ Cc) B ∨ Cd) A ∧ Be) A ∧ Cf) B ∧ Cg) A × Bh) B × CEm ∨ (OU, elemento a elemento) e ∧ (E, elemento a elemento):A ∨ B = (1 0; 1 1) A ∨ C = (1 0; 1 1) B ∨ C = (1 0; 1 1)A ∧ B = (0 0; 0 1) A ∧ C = (1 0; 0 1) B ∧ C = (0 0; 1 1)Na multiplicação booleana, cada posição (i, j) é o OU dos E entre a linha de uma matriz e a coluna da outra:A × B = ((1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1); (0 ∧ 0) ∨ (1 ∧ 1) (0 ∧ 0) ∨ (1 ∧ 1)) = (0 0; 1 1)B × C = ((0 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 1) (0 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1); (1 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 1) (1 ∧ 0) ∨ (1 ∧ 1)) = (0 0; 1 1)A ∧ B = (0 0; 0 1) A ∧ C = (1 0; 0 1) B ∧ C = (0 0; 1 1)A × B = B × C = (0 0; 1 1)Questão 13A = [1 0 1; 0 1 0; 1 1 1] B = [0 0 1; 0 0 0; 0 1 0] C = [1 1 1; 0 1 0; 1 1 0]Assim, calcule:a) (C ∧ B) ∨ Ab) A × B (multiplicação booleana de matrizes)c) B × C (multiplicação booleana de matrizes)d) A × C (multiplicação booleana de matrizes)a) Primeiro C ∧ B (E lógico, elemento a elemento):C ∧ B = [0 0 1; 0 0 0; 0 1 0]Depois (C ∧ B) ∨ A (OU lógico, elemento a elemento):(C ∧ B) ∨ A = [0 0 1; 0 0 0; 0 1 0] ∨ [1 0 1; 0 1 0; 1 1 1] = [1 0 1; 0 1 0; 1 1 1]b) Na multiplicação booleana, cada posição (i, j) é ⋁ k (a ik ∧ b kj):A × B = [0 1 1; 0 0 0; 0 1 1]c) Repetindo o processo para B × C:B × C = [1 1 0; 0 0 0; 0 1 0]d) E para A × C:A × C = [1 1 1; 0 1 0; 1 1 1]A × B = [0 1 1; 0 0 0; 0 1 1] B × C = [1 1 0; 0 0 0; 0 1 0] A × C = [1 1 1; 0 1 0; 1 1 1]Questão 14A = { − 4, − 1, 8, 23, 44, 71, … }Numerando os termos a partir de n = 0, montamos a tabela de diferenças: a linha Δ traz a diferença entre cada termo e o anterior (não são os elementos do conjunto), e Δ 2 faz o mesmo sobre a linha Δ.n 0 1 2 3 4 5; f (n) − 4 − 1 8 23 44 71; Δ 3 9 15 21 27; Δ 2 6 6 6 6As segundas diferenças são constantes e iguais a 6, logo o termo geral é de 2 ° grau: f (n) = a n 2 + bn + c.f (0) = c = − 4f (1) = a + b + c = − 1 ⇒ a + b = 3f (2) = 4 a + 2 b + c = 8 ⇒ 4 a + 2 b = 12 ⇒ 2 a + b = 6Subtraindo a + b = 3 de 2 a + b = 6: a = 3, logo b = 0.f (n) = 3 n 2 − 4Questão 15A = { 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, … }Numerando os termos a partir de n = 0, a linha Δ traz a diferença entre cada termo e o anterior (não são os elementos do conjunto):n 0 1 2 3 4 5 6; f (n) 2 7 12 17 22 27 32; Δ 5 5 5 5 5 5As primeiras diferenças já são constantes e iguais a 5, logo o termo geral é de 1 ° grau: f (n) = an + b.f (0) = b = 2 f (1) = a + b = 7 ⇒ a = 5f (n) = 5 n + 2Questão 16A = { 3, 4, 11, 30, 67, 128, … }Numerando os termos a partir de n = 0, montamos a tabela de diferenças: a linha Δ traz a diferença entre cada termo e o anterior (não são os elementos do conjunto), e cada linha seguinte repete o processo sobre a anterior.n 0 1 2 3 4 5; f (n) 3 4 11 30 67 128; Δ 1 7 19 37 61; Δ 2 6 12 18 24; Δ 3 6 6 6As terceiras diferenças são constantes e iguais a 6, logo o termo geral é de 3 ° grau: f (n) = a n 3 + b n 2 + cn + d.f (0) = d = 3f (1) = a + b + c + d = 4 ⇒ a + b + c = 1f (2) = 8 a + 4 b + 2 c + d = 11 ⇒ 4 a + 2 b + c = 4f (3) = 27 a + 9 b + 3 c + d = 30 ⇒ 9 a + 3 b + c = 9Subtraindo cada equação da seguinte para eliminar c:3 a + b = 3 5 a + b = 5Subtraindo novamente: 2 a = 2 ⇒ a = 1, logo b = 0 e c = 0.f (n) = n 3 + 3Questão 17A = { − 3, − 1, 5, 15, 29, 47, 69, … }Numerando os termos a partir de n = 0, montamos a tabela de diferenças: a linha Δ traz a diferença entre cada termo e o anterior (não são os elementos do conjunto), e Δ 2 faz o mesmo sobre a linha Δ.n 0 1 2 3 4 5 6; f (n) − 3 − 1 5 15 29 47 69; Δ 2 6 10 14 18 22; Δ 2 4 4 4 4 4As segundas diferenças são constantes e iguais a 4, logo o termo geral é de 2 ° grau: f (n) = a n 2 + bn + c.f (0) = c = − 3f (1) = a + b + c = − 1 ⇒ a + b = 2f (2) = 4 a + 2 b + c = 5 ⇒ 4 a + 2 b = 8 ⇒ 2 a + b = 4Subtraindo a + b = 2 de 2 a + b = 4: a = 2, logo b = 0.f (n) = 2 n 2 − 3Sejam A, B, C e D conjuntos.Questão 18Temos que (∀ x) x ∈ A ⟺ x ∈ B e (∀ y) y ∈ B ⟺ y ∈ C.Seja x ∈ A. Então x ∈ B e, portanto, x ∈ C.Assim, A ⊆ C.Seja agora y ∈ C. Então y ∈ B e, portanto, y ∈ A.Assim, C ⊆ A.Logo, como A ⊆ C e C ⊆ A ⇒ A = C. ■Questão 19Temos que (∀ x), x ∈ A ⇒ x ∈ B e (∀ y), y ∈ B ⇒ y ∈ C.Seja x ∈ A arbitrário. Por A ⊆ B, x ∈ B.Por B ⊆ C, x ∈ C.Como x era arbitrário, A ⊆ C. ■Questão 20(A ∪ C) = { x / x ∈ A ou x ∈ C }(B ∪ D) = { x / x ∈ B ou x ∈ D }Temos que (∀ x), x ∈ A ⇒ x ∈ B e (∀ y), y ∈ C ⇒ y ∈ D.Por definição, x ∈ (A ∪ C) ⇒ x ∈ A ou x ∈ C.Se x ∈ A, temos que x ∈ B ⇒ x ∈ (B ∪ D),ou se x ∈ C ⇒ x ∈ D,Logo, x ∈ (B ∪ D).Assim, (A ∪ C) ⊆ (B ∪ D). ■Questão 21(A ∩ C) = { x / x ∈ A e x ∈ C }(B ∩ D) = { x / x ∈ B e x ∈ D }Temos que (∀ x), x ∈ A ⇒ x ∈ B e (∀ y), y ∈ C ⇒ y ∈ D.Por definição, (∀ z) ∈ (A ∩ C) ⇒ z ∈ A e z ∈ C.No entanto, (∀ z) ∈ A ⇒ z ∈ B e (∀ z) ∈ C ⇒ z ∈ D.Logo, (∀ z) ∈ (A ∩ C) ⇒ z ∈ B e z ∈ D.Assim, (A ∩ C) ⊆ (B ∩ D). ■Questão 22(A ∪ C) = { x / x ∈ A ou x ∈ C }(B ∪ D) = { x / x ∈ B ou x ∈ D }Temos que (∀ x), x ∈ A ⟺ x ∈ B e (∀ y), y ∈ C ⟺ y ∈ D.Vamos provar que (A ∪ C) ⊆ (B ∪ D).Para z ∈ (A ∪ C) ⇒ z ∈ A ou z ∈ C.Se z ∈ A ⇒ z ∈ B, ou se z ∈ C ⇒ z ∈ D.Logo, z ∈ (B ∪ D).Agora provaremos que (B ∪ D) ⊆ (A ∪ C).Para w ∈ (B ∪ D) ⇒ w ∈ B ou w ∈ D.Se w ∈ B ⇒ w ∈ A, ou se w ∈ D ⇒ w ∈ C.Logo, w ∈ (A ∪ C).Assim, (A ∪ C) = (B ∪ D). ■Questão 23(A ∩ C) = { x / x ∈ A e x ∈ C }(B ∩ D) = { x / x ∈ B e x ∈ D }Temos que (∀ x), x ∈ A ⟺ x ∈ B e (∀ y), y ∈ C ⟺ y ∈ D.Primeiro provaremos que (B ∩ D) ⊆ (A ∩ C).Para z ∈ (B ∩ D) ⇒ z ∈ B e z ∈ D.Logo, z ∈ B ⇒ z ∈ A e z ∈ D ⇒ z ∈ C.Assim, z ∈ (A ∩ C).Agora provaremos que (A ∩ C) ⊆ (B ∩ D).Para w ∈ (A ∩ C) ⇒ w ∈ A e w ∈ C.Logo, w ∈ A ⇒ w ∈ B e w ∈ C ⇒ w ∈ D.Assim, w ∈ (B ∩ D).Portanto, A = B e C = D ⇒ (A ∩ C) = (B ∩ D). ■Questão 24Por definição, A − A = { x / x ∈ A e x ∉ A }.Assim, x ∈ ∅.Ou seja, A − A ⊆ ∅.Agora temos que ∅ = { x / x ∈ A e x ∉ A }.Ou seja, x ∈ A − A.Assim, ∅ ⊆ A − A.Como A − A ⊆ ∅ e ∅ ⊆ A − A, logo A − A = { }. ■Questão 25Por definição, (∀ x) ∈ (A ∩ B) ⇒ x ∈ A e x ∈ B.Logo, x ∈ A.Assim, (A ∩ B) ⊆ A. ■Questão 26Por definição, (∀ x) ∈ A ⇒ x ∈ A e (A ∪ B) = { y / y ∈ A ou y ∈ B }.Assim, x ∈ (A ∪ B).Logo, A ⊆ (A ∪ B). ■Questão 27Por definição, (A ∪ B) = A − B.Logo, (∀ x) ∈ (A ∪ B) ⟺ x ∈ (A − B).Então, x ∈ A ou x ∈ B ⟺ x ∈ A e x ∉ B.Assim, B = ∅. ■Questão 28Por definição, (A − B) = { x / x ∈ A e x ∉ B } e (B − A) = { y / y ∈ B e y ∉ A }.Assim, (A − B) ∪ (B − A) = { z / z ∈ (A − B) ou z ∈ (B − A) }.Logo, (A − B) ∪ (B − A) = z ∈ (A ∪ B).Assim, (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B).Logo, z ∉ A ∩ B.Assim, A ∩ B = ∅. ■Questão 29Temos que C a r d (B) = n, onde n ∈ ℕ é a quantidade de elementos de B, e C a r d (A) = m.Como A ⊆ B, todo elemento de A é elemento de B, logo m ≤ n.Como A ⊂ B é inclusão própria, existe b ∈ B com b ∉ A.Então A ∪ { b } ⊆ B e C a r d (A ∪ { b }) = m + 1, o que dá m + 1 ≤ n.Assim, m < n, ou seja, C a r d (A) < C a r d (B). ■Questão 30Resolvendo a inequação x 2 − 4 x + 3 < 0 pela fórmula de Bhaskara:x = − (− 4) ± (− 4) 2 − 4 (1) (3) 2 (1) = 4 ± 16 − 12 2 = 4 ± 2 2x 1 = 3 x 2 = 1Como a parábola tem concavidade para cima, a inequação é negativa entre as raízes:A = { x ∈ ℝ / 1 < x < 3 }Temos que A = { x ∈ ℝ / 1 < x < 3 } e B = { x ∈ ℝ / 0 < x < 6 }.Se x ∈ A, então 1 < x < 3; como 0 < 1 e 3 < 6, segue 0 < x < 6, ou seja, x ∈ B.Além disso, 4 ∈ B mas 4 ∉ A, logo a inclusão é própria.Assim, A ⊂ B. ■Questão 31Um conjunto com n elementos possui 2 n subconjuntos. Como A tem 4 elementos:2 4 = 16 subconjuntos∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 1, 4 }, { 2, 3 }, { 2, 4 }, { 3, 4 },{ 1, 2, 3 }, { 1, 2, 4 }, { 1, 3, 4 }, { 2, 3, 4 }, { 1, 2, 3, 4 }Questão 32Por definição, A = { x ∈ ℕ / x = 2 k, com k ∈ ℤ } e B = { y ∈ ℕ / y = 6 m, com m ∈ ℤ }.Seja y ∈ B. Então y = 6 m = 2 (3 m), com 3 m ∈ ℤ.Logo, y é múltiplo de 2, ou seja, y ∈ A.Assim, B ⊆ A. ■Questão 33Por definição, A = { x ∈ ℕ / x = 5 k, com k ∈ ℤ } e B = { y ∈ ℕ / y = 10 m, com m ∈ ℤ }.Seja y ∈ B. Então y = 10 m = 5 (2 m), com 2 m ∈ ℤ.Logo, y é múltiplo de 5, ou seja, y ∈ A.Assim, B ⊆ A. ■Questão 34A: valores naturais com x 2 < 15 são x = 0, 1, 2, 3 (pois 4 2 = 16 ≥ 15).A = { 0, 1, 2, 3 }B: valores naturais com 2 x < 7, ou seja x < 3,5, são x = 0, 1, 2, 3.B = { 0, 1, 2, 3 }Primeiro, A ⊆ B: se x ∈ ℕ e x 2 < 15, então x ≤ 3 (pois 4 2 = 16 > 15), logo 2 x ≤ 6 < 7 e x ∈ B.Agora, B ⊆ A: se x ∈ ℕ e 2 x < 7, então x < 3,5, logo x ≤ 3 e x 2 ≤ 9 < 15, ou seja, x ∈ A.Como A ⊆ B e B ⊆ A, segue A = B = { 0, 1, 2, 3 }. ■Questão 35a) Encontre A × B.b) Encontre B × A.c) Encontre A 2.d) Encontre B 2.B × A = { (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2) }A 2 = A × A = { (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2) }B 2 = B × B = { (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4) }Questão 36a) A = { x / x ∈ ℕ e x 2 < 25 }b) B = { x / x ∈ ℕ, x e ˊ par e 2 < x < 11 }c) C = { x / x ∈ ℂ e x 2 = − 9 }d) D = { x / x ∈ ℤ e ∣ x ∣ < 4 }B = { 4, 6, 8, 10 }C = { − 3 i, 3 i }D = { − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3 }Questão 37a) A = { x / x ∈ ℕ, ∃ q (q ∈ { 2, 3 } e x = 2 q) }b) B = { x / x ∈ ℕ, ∃ y ∃ z (y ∈ { 0, 1 }, z ∈ { 3, 4 } e y < x < z) }a) Para q = 2: x = 4. Para q = 3: x = 6.A = { 4, 6 }b) Testando as combinações de y ∈ { 0, 1 } e z ∈ { 3, 4 }:y = 0, z = 3 ⇒ x ∈ { 1, 2 } y = 0, z = 4 ⇒ x ∈ { 1, 2, 3 }y = 1, z = 3 ⇒ x ∈ { 2 } y = 1, z = 4 ⇒ x ∈ { 2, 3 }A união de todos os x possíveis é { 1, 2, 3 }.Questão 38Seja X ∈ P (A), então X ⊆ A.Como A ⊆ B, todo elemento de X também está em A e, consequentemente, em B. Logo, X ⊆ B.Assim, X ∈ P (B).Como X era um elemento arbitrário de P (A), então P (A) ⊆ P (B). ■Questão 39Como n (A × A) = n (A) 2 = 9, então n (A) = 3.Os pares (2, 4) e (4, 5) pertencem a A × A, então 2, 4, 5 ∈ A. Como A tem exatamente 3 elementos:A = { 2, 4, 5 }Questão 40C − A = { 9, 12 }Questão 41A × A = { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) }Substituindo cada par no trinômio 2 x + xy − 5 y:(0, 0) : 2 (0) + 0 (0) − 5 (0) = 0(0, 1) : 2 (0) + 0 (1) − 5 (1) = − 5(1, 0) : 2 (1) + 1 (0) − 5 (0) = 2(1, 1) : 2 (1) + 1 (1) − 5 (1) = − 2Questão 42 FTD, adaptadaPelo princípio da inclusão-exclusão:n (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B)31 = n (A) + 21 − 9n (A) = 31 − 21 + 9 = 19Questão 43 FTD, adaptadaA ∪ B = { − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }A − B = { 1, 2, 6, 7 } B − A = { − 1, 0, 8, 9, 10 }então quais são todos os elementos do conjunto A ∩ B?A ∩ B é o que sobra de A ∪ B ao remover os elementos exclusivos de A (A − B) e os exclusivos de B (B − A):A ∩ B = (A ∪ B) − (A − B) − (B − A)Removendo { 1, 2, 6, 7 } e { − 1, 0, 8, 9, 10 } de { − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }, sobram { 3, 4, 5, 11, 12 }.Questão 44 PUCC, adaptadaA − B = [0, 3) B − A = (5, 7]O produto (A − B) × (B − A) é o retângulo com x ∈ \[0, 3) e y ∈ (5, 7]: o quadrante superior esquerdo do diagrama.Questão 45 UNIFACS, adaptada(a ij) 5 × 3 = (0 0 0; 0 1 1; 0 0 1; 0 1 1; 0 1 1)Considerando-se a figura acima, sua representação matricial, e sabendo que a matriz B = (b ij) 3 × 5, em que b ij = a ji, então a matriz B será representada por qual imagem a seguir?A relação b ij = a ji diz que B é a transposta de A: B = AT. Uma matriz 5 × 3 transposta vira 3 × 5, por isso B tem 3 linhas e 5 colunas.Transpondo, as colunas de A viram linhas de B:A 1ª coluna de A é (0, 0, 0, 0, 0) → vira a 1ª linha de B. A 2ª coluna de A é (0, 1, 0, 1, 1) → vira a 2ª linha de B. A 3ª coluna de A é (0, 1, 1, 1, 1) → vira a 3ª linha de B.B = [0 0 0 0 0; 0 1 0 1 1; 0 1 1 1 1]Traduzindo de volta para pixels (0 = preto, 1 = branco): a primeira linha de B é toda preta; a segunda alterna preto/branco/preto/branco/branco; a terceira é preta só na primeira coluna e branca no resto.B = [0 0 0 0 0; 0 1 0 1 1; 0 1 1 1 1]Questão 46M = [0 1 1 0; 0 0 1 1; 1 0 0 1; 0 0 1 0]Considere também a matrizN = [1 0 0 1; 0 1 1 0; 1 0 1 0; 0 1 0 1]Na multiplicação booleana de matrizes, a multiplicação usual é substituída pela operação E (∧) e a adição pela operação OU (∨). Assim,(M ⊙ N) ij = (m i 1 ∧ n 1 j) ∨ (m i 2 ∧ n 2 j) ∨ ⋯ ∨ (m i 4 ∧ n 4 j)Determine a matriz booleana M ⊙ N.Um atalho útil: cada linha i de M escolhe quais linhas de N entram na conta: as posições onde m ik = 1. A linha i do resultado é o OU dessas linhas de N.Linha 1 de M é (0, 1, 1, 0) → seleciona as linhas 2 e 3 de N:(0, 1, 1, 0) ∨ (1, 0, 1, 0) = (1, 1, 1, 0)Linha 2 de M é (0, 0, 1, 1) → seleciona as linhas 3 e 4 de N:(1, 0, 1, 0) ∨ (0, 1, 0, 1) = (1, 1, 1, 1)Linha 3 de M é (1, 0, 0, 1) → seleciona as linhas 1 e 4 de N:(1, 0, 0, 1) ∨ (0, 1, 0, 1) = (1, 1, 0, 1)Linha 4 de M é (0, 0, 1, 0) → seleciona só a linha 3 de N:(1, 0, 1, 0) --- Lista 2: Relações e funções Lista de exercícios 2 de Matemática Aplicada à Computação (2026.2), com resolução comentada. Lista de exercícios 2 de Matemática Aplicada à Computação, Instituto Federal da Paraíba, curso de Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas, 1º período, semestre 2026.2, professor Suemilton Nunes Gervázio. Cobre relações binárias (propriedades, ordenação e equivalência) e funções (imagem, sobrejeção, injeção, bijeção, composição, paridade, monotonicidade, raízes de polinômios e função inversa). Tente cada questão sozinho antes de abrir a resposta.Questão 1R = { (x, y) ∈ A × B / y = 2 x − 1 }Qual dos gráficos cartesianos seguintes representa a relação R?Para cada x ∈ A, calculamos y = 2 x − 1 e conferimos se y ∈ B:x = 1 ⇒ y = 1 (∈ B) x = 2 ⇒ y = 3 (∈ B) x = 3 ⇒ y = 5 (∈ B)Os três valores caem em B, logoR = { (1, 1), (2, 3), (3, 5) }Esses são exatamente os pontos do gráfico (a). O gráfico (b) traça y = x, o (c) traça y = x com domínio errado (inclui x = 0 ∉ A), e o (d) não é sequer o gráfico de uma relação funcional consistente com y = 2 x − 1.Questão 2a) R 1 = { (1, 3), (3, 1), (8, 1) }b) R 2 = { (1, 8), (8, 8), (1, 3), (8, 1) }c) R 3 = { (3, 3), (1, 8), (8, 8), (8, 1) }d) R 4 = { (8, 8), (1, 3), (8, 1), (1, 1) }Uma relação é antissimétrica quando, para todo par de elementos distintos x ≠ y, não podem existir simultaneamente (x, y) e (y, x) na relação.R 1: contém (1, 3) e (3, 1), com 1 ≠ 3 → viola a antissimetria.R 2: contém (1, 8) e (8, 1), com 1 ≠ 8 → viola a antissimetria.R 3: contém (1, 8) e (8, 1), com 1 ≠ 8 → viola a antissimetria.R 4: os pares com elementos distintos são (1, 3) e (8, 1); nenhum dos pares invertidos, (3, 1) ou (1, 8), pertence a R 4. Os demais pares, (8, 8) e (1, 1), têm x = y e não violam a definição. Logo R 4 é antissimétrica.Questão 3a) R é reflexiva?b) R é transitiva?c) R é simétrica?a) Reflexiva exige (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R. Os três pares estão presentes, logo R é reflexiva.b) Transitiva exige que, sempre que (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R, também (x, z) ∈ R. Testando as combinações não triviais:(1, 2) e (2, 3) ⇒ (1, 3) ∈ R ✓(1, 3) e (3, 2) ⇒ (1, 2) ∈ R ✓(2, 3) e (3, 2) ⇒ (2, 2) ∈ R ✓(3, 2) e (2, 3) ⇒ (3, 3) ∈ R ✓Todas as combinações verificadas fecham dentro de R, logo R é transitiva.c) Simétrica exigiria que, para (1, 2) ∈ R, também (2, 1) ∈ R. Mas (2, 1) ∉ R, logo R não é simétrica.Questão 4Uma relação de equivalência precisa ser reflexiva, simétrica e transitiva.Reflexiva: (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R ✓Simétrica: o único par não trivial é (1, 2), e seu inverso (2, 1) também está em R ✓Transitiva: (1, 2) e (2, 1) ⇒ (1, 1) ∈ R ✓; (2, 1) e (1, 2) ⇒ (2, 2) ∈ R ✓; os demais pares são triviais.As três propriedades se verificam.Questão 5S é reflexiva, pois (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ S.Porém (1, 2) ∈ S e (2, 1) ∉ S, logo S não é simétrica.Como falha a simetria, S não pode ser relação de equivalência.Questão 6Reflexiva: x − x = 0 e 2 ∣ 0, logo xRx para todo x ∈ ℤ.Simétrica: se xRy, então 2 ∣ (x − y), ou seja, x − y = 2 k para algum k ∈ ℤ. Logo y − x = 2 (− k), com − k ∈ ℤ, portanto 2 ∣ (y − x) e yRx.Transitiva: se xRy e yRz, então x − y = 2 k e y − z = 2 m, com k, m ∈ ℤ. Somando,x − z = (x − y) + (y − z) = 2 k + 2 m = 2 (k + m)com k + m ∈ ℤ, logo 2 ∣ (x − z) e xRz.Como R é reflexiva, simétrica e transitiva, R é relação de equivalência. ■Questão 7Note que m d c (x, y) = x é equivalente a dizer que x divide y (x ∣ y).Reflexiva: m d c (x, x) = x sempre, logo xRx.Antissimétrica: se xRy e yRx, então x ∣ y e y ∣ x. Como x, y ∈ ℕ ∗, isso só é possível se x = y.Transitiva: se xRy e yRz, então x ∣ y e y ∣ z, logo x ∣ z, ou seja, m d c (x, z) = x e xRz.Questão 8Para ser ordenação parcial, R precisa ser reflexiva. Mas xRx exigiria x = x + 1, o que é falso para todo x ∈ ℕ ∗.Questão 9Para ser equivalência, R precisa ser reflexiva: xRx ⟺ x ⋅ x = x 2 é par. Isso é falso quando x é ímpar, por exemplo x = 1: 1 ⋅ 1 = 1, que é ímpar.Questão 10R é reflexiva (x − x = 0, múltiplo de 3) e transitiva, mas para ser ordenação parcial precisa também ser antissimétrica.Tome x = 1 e y = 4: x − y = − 3, múltiplo de 3, logo xRy. E y − x = 3, também múltiplo de 3, logo yRx. Como x ≠ y mas xRy e yRx simultaneamente, R não é antissimétrica.Questão 11Para ser ordenação parcial, R precisa ser reflexiva, isto é, xRx para todo x. Mas xRx ⟺ x é ímpar, o que é falso para todo x par (por exemplo, x = 2).Questão 12R precisa ser reflexiva, isto é, xRx ⟺ x = x − 1, o que é falso para todo x ∈ ℝ.Questão 13Para quaisquer x, y ∈ ℕ, 2 x é sempre par e 6 y é sempre par; a soma de dois números pares é sempre par. Logo 2 x + 6 y é par para todo par (x, y) ∈ ℕ × ℕ, ou seja, R = ℕ × ℕ.Reflexiva: xRx vale sempre, pois 2 x + 6 x = 8 x é par.Simétrica: se xRy vale sempre, yRx também vale sempre.Transitiva: se xRy e yRz valem sempre, xRz também vale sempre.Como as três propriedades se verificam trivialmente, R é relação de equivalência. ■Questão 14Para quaisquer x, y ∈ ℕ, 4 x é sempre par e 2 y é sempre par; a diferença de dois números pares é sempre par. Logo 4 x − 2 y é par para todo par (x, y) ∈ ℕ × ℕ, ou seja, R = ℕ × ℕ.Reflexiva: xRx vale sempre, pois 4 x − 2 x = 2 x é par.Simétrica: se xRy vale sempre, yRx também vale sempre.Transitiva: se xRy e yRz valem sempre, xRz também vale sempre.Como as três propriedades se verificam trivialmente, R é relação de equivalência. ■Questão 15a) Qual é a imagem de − 3?b) Quais são as pré-imagens de 0?a) Substituindo x = − 3:f (− 3) = 2 (− 3) 2 − 9 (− 3) + 7 = 2 (9) + 27 + 7 = 18 + 27 + 7 = 52b) As pré-imagens de 0 são as raízes de 2 x 2 − 9 x + 7 = 0. Pela fórmula de Bhaskara:x = 9 ± (− 9) 2 − 4 (2) (7) 2 (2) = 9 ± 81 − 56 4 = 9 ± 5 4x 1 = 14 4 = 3,5 x 2 = 4 4 = 1Questão 16Seja y ∈ ℝ arbitrário. Tomando x = y 2 ∈ ℝ, temosf (x) = 2 ⋅ y 2 = yLogo, para todo y ∈ ℝ existe x ∈ ℝ tal que f (x) = y. Assim, f é sobrejetora. ■Questão 17Seja y ∈ ℝ arbitrário. Tomando x = y + 1 ∈ ℝ, temosf (x) = (y + 1) − 1 = yLogo, para todo y ∈ ℝ existe x ∈ ℝ tal que f (x) = y. Assim, f é sobrejetora. ■Questão 18Sejam x 1, x 2 ∈ ℝ tais que f (x 1) = f (x 2). Então3 x 1 = 3 x 2 ⇒ x 1 = x 2Logo, f (x 1) = f (x 2) ⇒ x 1 = x 2, ou seja, f é injetora. ■Questão 19Sejam x 1, x 2 ∈ ℝ tais que f (x 1) = f (x 2). Então5 x 1 + 4 = 5 x 2 + 4 ⇒ 5 x 1 = 5 x 2 ⇒ x 1 = x 2Logo, f é injetora. ■Questão 20Injetora: sejam x 1, x 2 ∈ ℝ com f (x 1) = f (x 2), isto é, x 1 3 = x 2 3. Como a raiz cúbica real é única, x 1 = x 2.Sobrejetora: seja y ∈ ℝ arbitrário. Tomando x = y 3 ∈ ℝ, temos f (x) = (y 3) 3 = y.Sendo injetora e sobrejetora, f é bijetora. ■Questão 21Injetora: já demonstrado na Questão 18.Sobrejetora: seja y ∈ ℝ arbitrário. Tomando x = y 3 ∈ ℝ, temos f (x) = 3 ⋅ y 3 = y.Sendo injetora e sobrejetora, f é bijetora. ■Questão 22 Unicamp 2020Primeiro calculamos f (1):f (1) = a (1) + 2 = a + 2Agora aplicamos f novamente sobre esse resultado:f (f (1)) = f (a + 2) = a (a + 2) + 2 = a 2 + 2 a + 2Igualando a 1:a 2 + 2 a + 2 = 1 ⇒ a 2 + 2 a + 1 = 0 ⇒ (a + 1) 2 = 0 ⇒ a = − 1Questão 23 Mackenzie, SPCalculando as duas composições:f (g (x)) = 3 − 4 (3 x + m) = 3 − 12 x − 4 mg (f (x)) = 3 (3 − 4 x) + m = 9 − 12 x + mIgualando, o termo − 12 x cancela dos dois lados:3 − 4 m = 9 + m ⇒ − 5 m = 6 ⇒ m = − 6 5Questão 24Escrevendo y = f (x) e isolando x:y = 2 x + 2 ⇒ x + 2 = 2 y ⇒ x = 2 y − 2 = 2 − 2 y yTrocando y por x para escrever a função inversa:f − 1 (x) = 2 − 2 x xQuestão 25Escrevendo y = f (x) e isolando x:y = 2 x + 1 ⇒ x = y − 1 2Trocando y por x:f − 1 (x) = x − 1 2Questão 26f (− x) = 2 (− x) 4 + (− x) 2 − 1 = 2 x 4 + x 2 − 1 = f (x)Como f (− x) = f (x) para todo x ∈ ℝ, f é par. ■Questão 27f (− x) = 2 (− x) + 6 = − 2 x + 6Comparando com f (x) = 2 x + 6: para f ser par seria necessário f (− x) = f (x) para todo x, isto é, − 2 x + 6 = 2 x + 6, o que só vale para x = 0, não para todo x ∈ ℝ. Logo f não é par. ■Questão 28f (− x) = (− x) + (− x) 3 = − x − x 3 = − (x + x 3) = − f (x)Como f (− x) = − f (x) para todo x ∈ ℝ, f é ímpar. ■Questão 29f (− x) = 1 + (− x) 3 = 1 − x 3− f (x) = − (1 + x 3) = − 1 − x 3Para f ser ímpar seria necessário f (− x) = − f (x) para todo x, mas 1 − x 3 ≠ − 1 − x 3 (os termos constantes 1 e − 1 diferem). Logo f não é ímpar. ■Questão 30f (− x) = (− x) 2 − 3 (− x) 3 = x 2 − 3 − x 3 = − x 2 − 3 x 3 = − f (x)Como f (− x) = − f (x) para todo x no domínio, f é ímpar. ■Questão 31Sejam x 1, x 2 ∈ ℝ com x 1 < x 2. Multiplicando por 2 > 0, a desigualdade se preserva:2 x 1 < 2 x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2)Assim, x 1 < x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2) para todo x 1, x 2 ∈ ℝ, ou seja, f é crescente. ■Questão 32Sejam x 1, x 2 ∈ ℝ + com x 1 < x 2. Como ambos são não negativos, elevar ao quadrado preserva a desigualdade:x 1 2 < x 2 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2)Assim, f é crescente em ℝ +. ■Questão 33Sejam x 1, x 2 ∈ ℝ com x 1 < x 2. Multiplicando por − 1, a desigualdade se inverte:− x 1 > − x 2 ⇒ − x 1 + 2 > − x 2 + 2 ⇒ f (x 1) > f (x 2)Assim, x 1 < x 2 ⇒ f (x 1) > f (x 2), ou seja, f é decrescente. ■Questão 34Sejam x 1, x 2 ∈ ℝ com x 1 < x 2. Multiplicando por − 3 < 0, a desigualdade se inverte:− 3 x 1 > − 3 x 2 ⇒ − 3 x 1 + 1 > − 3 x 2 + 1 ⇒ f (x 1) > f (x 2)Assim, f é decrescente em ℝ. ■Questão 35f (x) g (x) = x 2 − 2 x − 6A divisão só está definida onde g (x) ≠ 0, isto é, x ≠ 6.Questão 36f (x) + g (x) = (x − 6) + 1 x = x (x − 6) + 1 x = x 2 − 6 x + 1 xf está definida em todo ℝ, mas g exige x ≠ 0. Logo o domínio da soma é ℝ − { 0 }.Questão 37Passo 1. Separar os coeficientes.Escreva os coeficientes em ordem decrescente de grau, sem pular nenhum.Se algum termo estiver ausente, ele entra com coeficiente 0.p (x) = 1 x 4 + 1 x 3 − 5 x 2 + 1 x − 6 ⇒ 1, 1, − 5, 1, − 6Passo 2. Montar o dispositivo de Briot-Ruffini.Como − 3 é raiz, p (x) é divisível por x − (− 3) = x + 3.Regras do dispositivo:A raiz − 3 fica à esquerda.Os coeficientes ficam na linha de cima.O primeiro coeficiente desce sem alteração.Cada número de baixo é multiplicado pela raiz e somado ao próximo coeficiente de cima.Passo 3. Fazer as contas.baixa o 1; 1 ⋅ (− 3) + 1 = − 2; (− 2) ⋅ (− 3) + (− 5) = 1; 1 ⋅ (− 3) + 1 = − 2; (− 2) ⋅ (− 3) + (− 6) = 0 (resto)− 3 1 1 − 5 1 − 6; 1 − 2 1 − 2 0Passo 4. Ler o resultado.O último número da linha de baixo é o resto.O resto vale 0, o que confirma que − 3 é raiz.Os outros números são os coeficientes do quociente, que tem grau uma unidade menor que p (x):p (x) = (x + 3) (x 3 − 2 x 2 + x − 2)Passo 5. Procurar uma raiz do quociente.Chame o quociente de q (x) = x 3 − 2 x 2 + x − 2.Se q (x) tiver raiz inteira, ela é divisor do termo independente − 2.Os candidatos são ± 1 e ± 2. Testando cada um:q (1) = 1 − 2 + 1 − 2 = − 2; q (− 1) = − 1 − 2 − 1 − 2 = − 6; q (2) = 8 − 8 + 2 − 2 = 0 ✓Logo 2 é raiz de q (x).Passo 6. Dividir q (x) por (x − 2).Mesmo processo, agora com os coeficientes 1, − 2, 1, − 2 e a raiz 2:baixa o 1; 1 ⋅ 2 + (− 2) = 0; 0 ⋅ 2 + 1 = 1; 1 ⋅ 2 + (− 2) = 0 (resto)2 1 − 2 1 − 2; 1 0 1 0O quociente é 1 x 2 + 0 x + 1 = x 2 + 1.Assim, p (x) fica fatorado:p (x) = (x + 3) (x − 2) (x 2 + 1)Passo 7. Resolver o fator de grau 2.Calculando o discriminante de x 2 + 1:Δ = 0 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = − 4Como Δ < 0, não há raízes reais. As duas raízes são complexas:x 2 + 1 = 0 ⇒ x 2 = − 1 ⇒ x = ± − 1 = ± iPasso 8. Conferir pelas relações de Girard.Para um polinômio a x 4 + b x 3 + c x 2 + dx + e:A soma das raízes é − b / a.O produto das raízes é e / a.Aqui a = 1, b = 1 e e = − 6:(− 3) + 2 + i + (− i) = − 1 = − 1 1 ✓; (− 3) ⋅ 2 ⋅ i ⋅ (− i) = − 6 ⋅ (− i 2) = − 6 = − 6 1 ✓Questão 38Passo 1. Separar os coeficientes.Escreva os coeficientes em ordem decrescente de grau, sem pular nenhum.Se algum termo estiver ausente, ele entra com coeficiente 0.p (x) = 1 x 4 − 3 x 3 + 3 x 2 − 3 x + 2 ⇒ 1, − 3, 3, − 3, 2Passo 2. Montar o dispositivo de Briot-Ruffini.Como 1 é raiz, p (x) é divisível por x − 1.Regras do dispositivo:A raiz 1 fica à esquerda.Os coeficientes ficam na linha de cima.O primeiro coeficiente desce sem alteração.Cada número de baixo é multiplicado pela raiz e somado ao próximo coeficiente de cima.Passo 3. Fazer as contas.baixa o 1; 1 ⋅ 1 + (− 3) = − 2; (− 2) ⋅ 1 + 3 = 1; 1 ⋅ 1 + (− 3) = − 2; (− 2) ⋅ 1 + 2 = 0 (resto)1 1 − 3 3 − 3 2; 1 − 2 1 − 2 0Passo 4. Ler o resultado.O último número da linha de baixo é o resto.O resto vale 0, o que confirma que 1 é raiz.Os outros números são os coeficientes do quociente, que tem grau uma unidade menor que p (x):p (x) = (x − 1) (x 3 − 2 x 2 + x − 2)Passo 5. Procurar uma raiz do quociente.Chame o quociente de q (x) = x 3 − 2 x 2 + x − 2.Se q (x) tiver raiz inteira, ela é divisor do termo independente − 2.Os candidatos são ± 1 e ± 2. Testando cada um:q (1) = 1 − 2 + 1 − 2 = − 2; q (− 1) = − 1 − 2 − 1 − 2 = − 6; q (2) = 8 − 8 + 2 − 2 = 0 ✓Logo 2 é raiz de q (x).Passo 6. Dividir q (x) por (x − 2).Mesmo processo, agora com os coeficientes 1, − 2, 1, − 2 e a raiz 2:baixa o 1; 1 ⋅ 2 + (− 2) = 0; 0 ⋅ 2 + 1 = 1; 1 ⋅ 2 + (− 2) = 0 (resto)2 1 − 2 1 − 2; 1 0 1 0O quociente é 1 x 2 + 0 x + 1 = x 2 + 1.Assim, p (x) fica fatorado:p (x) = (x − 1) (x − 2) (x 2 + 1)Passo 7. Resolver o fator de grau 2.Calculando o discriminante de x 2 + 1:Δ = 0 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = − 4Como Δ < 0, não há raízes reais. As duas raízes são complexas:x 2 + 1 = 0 ⇒ x 2 = − 1 ⇒ x = ± − 1 = ± iPasso 8. Conferir pelas relações de Girard.Para um polinômio a x 4 + b x 3 + c x 2 + dx + e:A soma das raízes é − b / a.O produto das raízes é e / a.Aqui a = 1, b = − 3 e e = 2:1 + 2 + i + (− i) = 3 = − − 3 1 ✓; 1 ⋅ 2 ⋅ i ⋅ (− i) = 2 ⋅ (− i 2) = 2 = 2 1 ✓Questão 39Simplificando o numerador, x − 2 x = − x, logof (x) = − x x 3 = − 1 x 2Calculando f (− x):f (− x) = − 1 (− x) 2 = − 1 x 2 = f (x)Questão 40Sejam x 1, x 2 ∈ ℝ com x 1 < x 2. Multiplicando por − 7 < 0, a desigualdade se inverte:− 7 x 1 > − 7 x 2 ⇒ − 7 x 1 + 2 > − 7 x 2 + 2 ⇒ f (x 1) > f (x 2)Assim, f é decrescente em ℝ. ■Questão 41Escrevendo y = 2 x + 1 e isolando x:y = 2 x + 1 ⇒ x = y − 1 2Trocando y por x:f − 1 (x) = x − 1 224:["$","div",null,{"className":"mx-auto w-full max-w-480 px-5 pt-10 pb-28 sm:px-8 md:pt-12 lg:px-10 xl:grid xl:grid-cols-[minmax(0,1fr)_minmax(0,75rem)_minmax(20rem,1fr)]","children":[["$","script",null,{"type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Início\",\"item\":\"https://mac-docs.vercel.app/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Matemática 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Lista 1	Matrizes, matrizes booleanas e conjuntos
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