Função bijetora

Carregando…

Função bijetora

Uma função $f : A \to B$ é bijetora (ou bijetiva) se, e somente se, ela for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, isto é:

\forall y \in B,\ \exists x \in A / f(x) = y \qquad \text{e} \qquad \forall x \in A,\ f(x) = f(y) \Rightarrow x = y

Juntas, injetora (sem colisões) e sobrejetora (sem sobras em $B$ ) dizem que $f$ estabelece uma correspondência um a um entre $A$ e $B$ : cada elemento de $A$ tem exatamente um parceiro em $B$ , e vice-versa. É essa mesma ideia que aparece como "relação biunívoca" na página de cardinalidade — dois conjuntos têm a mesma cardinalidade exatamente quando existe uma bijeção entre eles.

Como provar

Provar que $f$ é bijetora é provar as duas coisas separadamente: a parte injetora (de $f(x) = f(y)$ , concluir $x = y$ ) e a parte sobrejetora (dado $y \in B$ , exibir $x \in A$ com $f(x) = y$ ). Não existe atalho que prove as duas de uma vez — é por isso que as demonstrações abaixo têm duas partes.

Só faz sentido falar em função inversa $f^{-1}$ quando $f$ é bijetora — veja função inversa.

Exercícios

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x + 2$ é bijetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \dfrac{x + 3}{3}$ é bijetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Editar esta página no GitHub

Função bijetora

Uma função $f : A \to B$ é bijetora (ou bijetiva) se, e somente se, ela for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, isto é:

\forall y \in B,\ \exists x \in A / f(x) = y \qquad \text{e} \qquad \forall x \in A,\ f(x) = f(y) \Rightarrow x = y

Como provar

Só faz sentido falar em função inversa $f^{-1}$ quando $f$ é bijetora — veja função inversa.

Exercícios

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x + 2$ é bijetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \dfrac{x + 3}{3}$ é bijetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Editar esta página no GitHub