Demonstração por contradição

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2 min de leituraPré-requisitos:Demonstração direta

Tal tipo de demonstração envolve supor absurdamente que a afirmação a ser demonstrada é falsa e obter, através de implicações válidas, uma conclusão contraditória.

A contradição obtida implica que a hipótese absurda é falsa; portanto, a afirmação é de fato verdadeira.
No caso de uma implicação $P \Rightarrow Q$ , equivalente a $\lnot P \lor Q$ , a negação é $P \land \lnot Q$ .

Em suma, demonstrar por contradição uma afirmação do tipo $P \Rightarrow Q$ consiste em supor a hipótese $P$ , supor a negação da tese $\lnot Q$ e chegar a uma contradição.

Contradição não é contraposição

As duas técnicas se parecem (ambas partem de negar algo), mas são diferentes:

Contraposição: prova diretamente $\lnot Q \Rightarrow \lnot P$ , sem nunca supor $P$ . É uma prova direta disfarçada.
Contradição: supõe $P$ e $\lnot Q$ ao mesmo tempo, e busca qualquer absurdo lógico (não necessariamente relacionado a $P$ ) — como $2 = 1$ no segundo exercício abaixo, algo que nem menciona a hipótese original diretamente.

Todos os exercícios desta página usam contradição: supõem $P$ junto com $\lnot Q$ e derivam um absurdo.

O exemplo clássico de demonstração por contradição é a irracionalidade de $\sqrt{2}$ :

√2 é irracional

1 / 5

1
Negação da tese (por absurdo)
$\sqrt{2}$

Exercícios

Exercício proposto

Mostre por contradição que, se $3m + 2$ é ímpar, então $m$ é ímpar.

Resposta

3m + 2 = 2k + 1

Exercício proposto

Mostre que, se um número somado a ele mesmo resulta no próprio número, então o número é zero.

Resposta

x + x = x

Exercício proposto

Mostre que, se $P^{2}$ é par, então $P$ é par.

Resposta

P^{2} = 2k

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Demonstração por contradição

2 min de leituraPré-requisitos:Demonstração direta

Tal tipo de demonstração envolve supor absurdamente que a afirmação a ser demonstrada é falsa e obter, através de implicações válidas, uma conclusão contraditória.

A contradição obtida implica que a hipótese absurda é falsa; portanto, a afirmação é de fato verdadeira.
No caso de uma implicação $P \Rightarrow Q$ , equivalente a $\lnot P \lor Q$ , a negação é $P \land \lnot Q$ .

Em suma, demonstrar por contradição uma afirmação do tipo $P \Rightarrow Q$ consiste em supor a hipótese $P$ , supor a negação da tese $\lnot Q$ e chegar a uma contradição.

Contradição não é contraposição

As duas técnicas se parecem (ambas partem de negar algo), mas são diferentes:

Contraposição: prova diretamente $\lnot Q \Rightarrow \lnot P$ , sem nunca supor $P$ . É uma prova direta disfarçada.
Contradição: supõe $P$ e $\lnot Q$ ao mesmo tempo, e busca qualquer absurdo lógico (não necessariamente relacionado a $P$ ) — como $2 = 1$ no segundo exercício abaixo, algo que nem menciona a hipótese original diretamente.

Todos os exercícios desta página usam contradição: supõem $P$ junto com $\lnot Q$ e derivam um absurdo.

O exemplo clássico de demonstração por contradição é a irracionalidade de $\sqrt{2}$ :

√2 é irracional

1 / 5

1
Negação da tese (por absurdo)
$\sqrt{2}$

Exercícios

Exercício proposto

Mostre por contradição que, se $3m + 2$ é ímpar, então $m$ é ímpar.

Resposta

3m + 2 = 2k + 1

Exercício proposto

Mostre que, se um número somado a ele mesmo resulta no próprio número, então o número é zero.

Resposta

x + x = x

Exercício proposto

Mostre que, se $P^{2}$ é par, então $P$ é par.

Resposta

P^{2} = 2k

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