Operações com matrizes

Adição

Só pode ser feita se as matrizes forem do mesmo tipo (mesma ordem).

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$$ $$A + B = \begin{bmatrix} 1 + (-1) & 2 + 2 \\ 2 + 0 & 3 + (-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$$

Subtração

Só pode ser feita se as matrizes forem do mesmo tipo.

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$$ $$A - B = \begin{bmatrix} 1 - (-1) & 2 - 2 \\ 2 - 0 & 3 - (-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$$

Multiplicação por escalar

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 4 & 0 & 2 \end{bmatrix} \qquad -3 \cdot A = \begin{bmatrix} -3 & -6 & 9 \\ -12 & 0 & -6 \end{bmatrix}$$

Multiplicação de matrizes

Sejam $A_{m \times n}$ e $B_{p \times q}$. A multiplicação $A \cdot B$ só existe quando $n = p$ (o número de colunas de $A$ é igual ao número de linhas de $B$). A matriz resultante tem ordem $m \times q$. Cada entrada é o produto de uma linha de $A$ por uma coluna de $B$:

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\, b_{kj}$$

Potência de matrizes

Para $n$ inteiro positivo, a potência $A^{n}$ de uma matriz quadrada $A$ é o produto de $A$ por ela mesma $n$ vezes: $A^{n} = A \cdot A \cdots A$ ($n$ fatores). Como a matriz identidade multiplicada por qualquer matriz quadrada de mesma ordem não a altera, temos:

$$Id^{n} = Id$$

Pratique com uma questão gerada automaticamente: