Lista 1: Matrizes e conjuntos

$A$ é simétrica quando $a_{ij} = a_{ji}$ para todo par $(i,j)$. Comparando as posições espelhadas:

Posições $(1,2)$ e $(2,1)$: $x = y-1$

Posições $(1,3)$ e $(3,1)$: $y-1 = x$ (mesma equação da anterior)

Posições $(2,3)$ e $(3,2)$: $x+5 = 7 \;\Rightarrow\; x = 2$

Substituindo $x=2$ em $x = y-1$: $2 = y-1 \;\Rightarrow\; y = 3$.

$Y$ fica na diagonal principal, então não entra em nenhuma equação de simetria. Comparando as demais posições espelhadas:

Posições $(1,2)$ e $(2,1)$: $36 = x^{2} \;\Rightarrow\; x = \pm 6$

Posições $(1,3)$ e $(3,1)$: $-7 = 4-y \;\Rightarrow\; y = 11$

Posições $(2,3)$ e $(3,2)$: $5x = -30 \;\Rightarrow\; x = -6$

O valor de $x$ que satisfaz as duas equações é $x=-6$. Substituindo em $z = 2x - 3y$:

$C_{22}$ é o produto da linha $2$ de $A$ pela coluna $2$ de $B$:

Calculando cada termo de $A$ com $a_{ij} = 2i + 3j - 5$:

Para $B \times (-2A)$, primeiro invertemos o sinal de $A$ e multiplicamos por $2$:

Primeiro calculamos $A + B$:

Escrevendo $X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, temos:

Igualando a $A+B$, posição por posição:

• $(2,1)$: $a = 2$
• $(2,2)$: $b = 2$
• $(1,1)$: $2a - c = 5 \;\Rightarrow\; 4 - c = 5 \;\Rightarrow\; c = -1$
• $(1,2)$: $2b - d = 0 \;\Rightarrow\; 4 - d = 0 \;\Rightarrow\; d = 4$

Somando $B + C$ termo a termo:

Igualando a $A$, posição por posição:

Calculando $A \cdot B$ termo a termo:

Como $A \cdot B = I_{3}$, qualquer potência da identidade é ela mesma:

O caminho mais direto é calcular $A^{2}$:

Como $A^{2} = I_{2}$, toda potência par de $A$ é $I_{2}$. Sendo $102$ par:

Usando os resultados das questões 8 e 9, $A^{102} = I_{2}$ e $B^{3} = \begin{bmatrix} 1&3 \\ 0&1 \end{bmatrix}$. Multiplicar por $I_{2}$ não altera a matriz:

Se $A$ é inversa de $B$, então $B \cdot A = I_{2}$:

Da posição $(1,1)$: $6+y=1 \;\Rightarrow\; y=-5$

Da posição $(2,2)$: $-5+2x=1 \;\Rightarrow\; x=3$

Conferindo na posição $(1,2)$: $15+xy = 15+3(-5) = 0$ ✓

Em $\vee$ (OU, elemento a elemento) e $\wedge$ (E, elemento a elemento):

Na multiplicação booleana, cada posição $(i,j)$ é o OU dos E entre a linha de uma matriz e a coluna da outra:

a) Primeiro $C \wedge B$ (E lógico, elemento a elemento):

Depois $(C \wedge B) \vee A$ (OU lógico, elemento a elemento):

b) Na multiplicação booleana, cada posição $(i,j)$ é $\bigvee_k (a_{ik} \wedge b_{kj})$:

c) Repetindo o processo para $B \times C$:

d) E para $A \times C$:

Numerando os termos a partir de $n = 0$, montamos a tabela de diferenças: a linha $\Delta$ traz a diferença entre cada termo e o anterior (não são os elementos do conjunto), e $\Delta^{2}$ faz o mesmo sobre a linha $\Delta$.

As segundas diferenças são constantes e iguais a $6$, logo o termo geral é de $2°$ grau: $f(n) = an^{2} + bn + c$.

Subtraindo $a+b=3$ de $2a+b=6$: $a = 3$, logo $b = 0$.

Numerando os termos a partir de $n = 0$, a linha $\Delta$ traz a diferença entre cada termo e o anterior (não são os elementos do conjunto):

As primeiras diferenças já são constantes e iguais a $5$, logo o termo geral é de $1°$ grau: $f(n) = an+b$.

Numerando os termos a partir de $n = 0$, montamos a tabela de diferenças: a linha $\Delta$ traz a diferença entre cada termo e o anterior (não são os elementos do conjunto), e cada linha seguinte repete o processo sobre a anterior.

As terceiras diferenças são constantes e iguais a $6$, logo o termo geral é de $3°$ grau: $f(n) = an^{3}+bn^{2}+cn+d$.

Subtraindo cada equação da seguinte para eliminar $c$:

Subtraindo novamente: $2a = 2 \;\Rightarrow\; a = 1$, logo $b = 0$ e $c = 0$.

Numerando os termos a partir de $n = 0$, montamos a tabela de diferenças: a linha $\Delta$ traz a diferença entre cada termo e o anterior (não são os elementos do conjunto), e $\Delta^{2}$ faz o mesmo sobre a linha $\Delta$.

As segundas diferenças são constantes e iguais a $4$, logo o termo geral é de $2°$ grau: $f(n) = an^{2}+bn+c$.

Subtraindo $a+b=2$ de $2a+b=4$: $a = 2$, logo $b = 0$.