Prova 3 — Técnicas de demonstração, indução e recursão

Pela contrapositiva, temos que $n$ é par, logo

Logo, $3n+2$ é par $\Rightarrow \; \lnot q \Rightarrow \lnot p$

Por exaustão (domínio finito: $n \in \mathbb{N}$ e $n \le 5$), temos:

Por contradição, vamos supor que $\sqrt{2}$ é racional, logo

Logo, $a^{2}$ é par $\Rightarrow a$ é par (pela questão 3, letra b)

Logo, $b^{2}$ é par $\Rightarrow b$ é par.

Como $a$ é par e $b$ é par, eles possuem fator em comum, o $2$ (contradição)

Por indução, temos:

I) Se $m=1 \Rightarrow m+(m+1)+(m+2) = 3m$, com $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow 1+2+3 = 3(1) \Rightarrow 6 = 3$. Assim, a equação é válida, se $m=1$ (passo básico)

II) Vamos supor, por indução, que a equação seja verdadeira para algum inteiro positivo $k$. Assim,

III) Vamos provar que $P(k) \Rightarrow P(k+1)$. Assim,

$P(k+1)$ é múltiplo de 3

Por indução, temos:

I) Se $a=1 \Rightarrow 1^{2}+3(1)+5 = 2p+1$, com $p \in \mathbb{Z} \Rightarrow 9 = 2p+1$. Assim, a equação é verdadeira, se $a=1$ (passo básico)

II) Por indução, vamos supor que a equação valha para algum inteiro ímpar $k$, com $k = 2p+1$ (hipótese de indução):

III) Vamos demonstrar que $P(k) \Rightarrow P(k+1)$. Assim,

Por contradição, temos que $x \in \mathbb{R}$ e

Por indução, temos:

I) Se $n=1 \Rightarrow 2(1)-1 = 1^{2} \Rightarrow 1=1$. A equação é verdadeira para $n=1$ (passo básico)

II) Vamos supor, por indução, que a expressão seja verdadeira para algum inteiro $k$. Assim,

III) Vamos demonstrar que $P(k) \Rightarrow P(k+1)$. Assim,

Por indução, temos:

I) Se $n=1 \Rightarrow 2^{2(1)}-1 = 3m$, com $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow 2^{2}-1=3 \Rightarrow 4-1=3 \Rightarrow 3=3$. A equação é verdadeira, se $n=1$ (passo básico)

II) Vamos supor, por indução, que a equação é válida para algum inteiro positivo $k$. Assim,

III) Vamos demonstrar que $P(k) \Rightarrow P(k+1)$. Assim,

$P(k+1)$ é múltiplo de 3

Por indução, temos:

I) Se $n=1 \Rightarrow 1\cdot(1+1) = \dfrac{1(1+1)(1+2)}{3} \Rightarrow 2 = \dfrac{2\cdot 3}{3} \Rightarrow 2=2$. Assim, a equação é verdadeira, se $n=1$ (passo básico)

II) Por indução, vamos supor que a equação valha para algum inteiro positivo $k$. Assim,

III) Vamos demonstrar que $P(k) \Rightarrow P(k+1)$. Assim,

I) Se $n=1 \Rightarrow F(5) = 3F(3)-F(1) \Rightarrow 5 = 3\cdot2-1 \Rightarrow 5=5$. Assim, a equação é verdadeira para $n=1$ (passo básico)

II) Vamos supor, por indução, que a equação seja verdadeira para algum inteiro positivo $k$. Assim,

III) Vamos demonstrar que $P(k) \Rightarrow P(k+1)$. Assim,

Como $F(k+2) = F(k)+F(k+1)$, então $-F(k) = F(k+1)-F(k+2)$:

Como $F(k+3) = F(k+2)+F(k+1)$, então $F(k+2) = F(k+3)-F(k+1)$: