Para D={1,2,3,4,5} temos P(D)=32 e para E={1,2,3,4,5,6} temos
P(E)=64.
Fórmula
A quantidade de partes de um conjunto com n elementos é 2n.
Por que a fórmula é 2ⁿ?
A ideia é que, para formar um subconjunto de A, decidimos, elemento por
elemento, se ele entra ou não no subconjunto — duas escolhas
independentes para cada um dos n elementos, o que dá 2×2×⋯×2=2n subconjuntos possíveis. A demonstração formal usa
indução sobre n.
Demonstração: |P(A)| = 2ⁿ, por indução em n
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Caso base (n = 0)
Se A=∅, o único subconjunto de A é o próprio ∅.
Logo P(A)={∅} e ∣P(A)∣=1=20.
Demonstração matemática
Se A ⊆ B e B ⊆ C, então A ⊆ C
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Hipótese
A⊆B⇒(∀x)(x∈A⇒x∈B) e
B⊆C⇒(∀x)(x∈B⇒x∈C).
Exercício proposto
Seja B={x/xeˊ muˊltiplo de 4} e A={y/yeˊ muˊltiplo de 8}.
Mostre que A⊆B.
Resposta
Dem.:
(∀y)y∈A⇒y=8m, com m∈Z+
Assim
y=4⋅2m
Como 2m∈Z+, temos y=4c com c∈Z+, logo y∈B
∴A⊆B■
Conjuntos iguais
Se A e B são dois conjuntos tais que A=B, então A⊆B e
B⊆A. Ou seja:
A=B⇔A⊆B e B⊆A
Exercício proposto
Seja A={x/x∈N e x2<15} e
B={y/y∈N e 2y<7}. Mostre que A=B.
Resposta
Para mostrar que A=B, vamos mostrar que A⊆B e B⊆A.
(⇒) A⊆B:
(∀x)x∈A⇒x2<15 e x∈N
Logo x∈{0,1,2,3}, e para todos esses valores 2x<7. Assim,
x∈B
(⇐) B⊆A:
(∀y)y∈B⇒2y<7 e y∈N
Logo y∈{0,1,2,3}, e para todos esses valores y2<15. Assim,