Funções

Sejam $A$ e $B$ conjuntos. Uma função $f$ de $A$ em $B$ é um subconjunto de $A \times B$ onde cada elemento de $A$ aparece exatamente uma vez como primeira componente de um par ordenado. $A$ é o domínio e $B$ é o contradomínio da função.

Se $(0, T)$ pertence à função, então $T$ é denotado por $f(0)$; $T$ é a imagem de $0$ por $f$, e $0$ é a pré-imagem de $T$. Em símbolos, uma função $f : A \to B$ satisfaz as seguintes propriedades:

• F1: Para cada $x \in A$, existe $y \in B / (x, y) \in f$.
• F2: Para cada $x \in A$ e $y_{1}, y_{2} \in B$, se $(x, y_{1}) \in f$ e $(x, y_{2}) \in f$, então $y_{1} = y_{2}$.

Em suma, para cada $x \in A$ existe um único $y \in B / (x, y) \in f$, ou seja:

$$\forall x \in A,\ \exists!\, y \in B / (x, y) \in f$$

Em palavras, as duas condições garantem coisas diferentes:

• F1 (totalidade): ninguém em $A$ fica de fora — todo elemento do domínio precisa ter uma imagem definida em $B$. Falha quando a fórmula "quebra" para algum $x \in A$ (por exemplo, resulta em algo fora de $B$).
• F2 (unicidade): ninguém em $A$ aponta para dois lugares ao mesmo tempo — cada $x$ tem no máximo uma imagem. Falha quando o mesmo $x$ aparece associado a dois valores diferentes de $y$.

Toda função é, portanto, uma relação binária especial: uma relação em que cada elemento do domínio "escolhe" exatamente um elemento do contradomínio. Uma relação binária qualquer pode violar F1 (deixar algum $x$ sem par) ou F2 (dar a um mesmo $x$ mais de um par) — é exatamente o que os itens (a) e (c) do primeiro exercício mostram.

Exercícios