Lista 2: Relações e funções

Reflexiva: $(\forall x)(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow (x,x) \in R)$. Como $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \dfrac{x-x}{2} = 0$, então $x\,p\,x$, ou seja $(x,x) \in R$. Portanto $R$ é reflexiva.

Simétrica: $(\forall x,y)(x, y \in \mathbb{Z},\ (x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R)$. Como $(x,y) \in R \Rightarrow x - y = 2k$, com $k \in \mathbb{Z}$, então $y - x = -2k$. Assim $y\,p\,x \Rightarrow (y,x) \in R$. Portanto $R$ é simétrica.

Transitiva: $(\forall x,y,z)(x,y,z \in \mathbb{Z},\ (x,y) \in R,\ (y,z) \in R \Rightarrow (x,z) \in R)$. Como $(x,y) \in R$ e $(y,z) \in R$, então $x - y = 2k$ e $y - z = 2m$, com $k, m \in \mathbb{Z}$. Assim $x - y + y - z = 2k + 2m \Rightarrow x - z = 2(k+m)$, com $k+m \in \mathbb{Z}$. Logo $x\,p\,z \Rightarrow (x,z) \in R$. Portanto $R$ é transitiva.

Como $R$ é reflexiva, simétrica e transitiva, é uma relação de equivalência. $\blacksquare$

Reflexiva: $(\forall x)(x \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow (x,x) \in R)$. Como $x \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow \operatorname{mdc}(x,x) = x$, então $x\,p\,x \Rightarrow (x,x) \in R$. Portanto $R$ é reflexiva.

Antissimétrica: $(\forall x,y)(x, y \in \mathbb{N}^{*},\ (x,y) \in R \Rightarrow x = y)$. Como $(x,y) \in R \Rightarrow \operatorname{mdc}(x,y) = x$, então $\operatorname{mdc}(y,x) = y \Rightarrow x = y$. Portanto $R$ é antissimétrica.

Transitiva: $(\forall x,y,z)(x,y,z \in \mathbb{N}^{*},\ (x,y) \in R,\ (y,z) \in R \Rightarrow (x,z) \in R)$. Como $(x,y) \in R$ e $(y,z) \in R$, então $\operatorname{mdc}(x,y) = x$ e $\operatorname{mdc}(y,z) = y$. Logo $\operatorname{mdc}(x,z) = x \Rightarrow x\,p\,z \Rightarrow (x,z) \in R$. Portanto $R$ é transitiva.

Como $R$ é reflexiva, antissimétrica e transitiva, é uma relação de ordenação parcial. $\blacksquare$

$(\forall x)(x \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow (x,x) \in R)$. Como $x \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow x \ne x + 1$, então $R$ não é reflexiva. Portanto $R$ não é uma relação de ordenação parcial. $\blacksquare$

$(\forall x)(x \in \mathbb{N} \Rightarrow (x,x) \in R)$. Como $x \cdot x = x^{2}$, e $x^{2}$ só é par quando $x$ é par, $R$ não é reflexiva (falha para $x$ ímpar). Portanto $R$ não é uma relação de equivalência. $\blacksquare$

Reflexiva: como $x - x = 0$, que é múltiplo de $3$, $x\,p\,x \Rightarrow (x,x) \in R$. Logo $R$ é reflexiva.

Simétrica: se $(x,y) \in R \Rightarrow x - y = 3k$, com $k \in \mathbb{Z}$, então $y - x = -3k \Rightarrow y\,p\,x \Rightarrow (y,x) \in R$. Logo $R$ é simétrica, e portanto não pode ser antissimétrica (a menos que $x=y$ sempre).

Como $R$ é simétrica, não é uma relação de ordenação parcial. $\blacksquare$

$(\forall x)(x \in \mathbb{N} \Rightarrow (x,x) \in R)$. Como $x = 2k+1$, com $k \in \mathbb{Z}$, nem todo $x$ é ímpar, então $R$ não é reflexiva. Portanto $R$ não é uma relação de ordenação parcial. $\blacksquare$

$(\forall x)(x \in \mathbb{R} \Rightarrow (x,x) \in R)$. Como $x \ne x - 1$, $R$ não é reflexiva. Portanto $R$ não é uma relação de equivalência. $\blacksquare$

Reflexiva: como $x \in \mathbb{N} \Rightarrow 2x + 6x = 8x = 2(4x)$, com $4x \in \mathbb{Z}$, então $x\,p\,x \Rightarrow (x,x) \in R$. Logo $R$ é reflexiva.

Simétrica: se $(x,y) \in R \Rightarrow 2x+6y = 2k$, com $k \in \mathbb{Z}$; no entanto $2y+6x$ também é da forma $2m$, com $m \in \mathbb{Z}$. Assim $y\,p\,x \Rightarrow (y,x) \in R$. Logo $R$ é simétrica.

Transitiva: se $(x,y) \in R$ e $(y,z) \in R \Rightarrow 2x+6y=2k$ e $2y+6z=2m$, com $k,m \in \mathbb{Z}$. Somando: $2x+8y+6z=2k+2m \Rightarrow 2x+6z = 2k+2m-8y = 2(k+m-4y)$, com $k+m-4y \in \mathbb{Z}$. Logo $x\,p\,z \Rightarrow (x,z) \in R$. Logo $R$ é transitiva.

Como $R$ é reflexiva, simétrica e transitiva, é uma relação de equivalência. $\blacksquare$

Reflexiva: como $4x-2x = 2x = 2(x)$, com $x \in \mathbb{Z}$, então $x\,p\,x \Rightarrow (x,x) \in R$. Logo $R$ é reflexiva.

Simétrica: se $(x,y) \in R \Rightarrow 4x-2y=2k$, com $k \in \mathbb{Z}$; então $4y-2x$ também é da forma $2m$, com $m \in \mathbb{Z}$. Logo $y\,p\,x \Rightarrow (y,x) \in R$. Logo $R$ é simétrica.

Transitiva: se $(x,y) \in R$ e $(y,z) \in R \Rightarrow 4x-2y=2k$ e $4y-2z=2m$, com $k,m \in \mathbb{Z}$. Somando: $4x+2y-2z=2k+2m \Rightarrow 4x-2z=2k+2m-2y=2(k+m-y)$, com $k+m-y \in \mathbb{Z}$. Logo $x\,p\,z \Rightarrow (x,z) \in R$. Logo $R$ é transitiva.

Como $R$ é reflexiva, simétrica e transitiva, é uma relação de equivalência. $\blacksquare$

Temos que $\forall y \in \mathbb{R},\ \exists x \in \mathbb{R} / f(x) = y$. Assim, $f(x) = y \Rightarrow 2x = y \Rightarrow x = y/2$. Agora, $f(y/2) = 2 \cdot (y/2) = y$. Logo $f$ é uma função sobrejetora. $\blacksquare$

Temos que $\forall y \in \mathbb{R},\ \exists x \in \mathbb{R} / f(x) = y$. Assim, $f(x) = y \Rightarrow x - 1 = y \Rightarrow x = y + 1$. Agora, $f(y+1) = (y+1) - 1 = y$. Logo $f$ é uma função sobrejetora. $\blacksquare$

Temos que $\forall x, y \in \mathbb{R}$, se $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$. Assim, $f(x)=f(y) \Rightarrow 3x = 3y \Rightarrow x = y$. Logo $f$ é uma função injetora. $\blacksquare$

Temos que $\forall x, y \in \mathbb{R}$, se $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$. Assim, $f(x)=f(y) \Rightarrow 5x+4 = 5y+4 \Rightarrow 5x = 5y \Rightarrow x = y$. Logo $f$ é uma função injetora. $\blacksquare$

Sobrejetora: $\forall y \in \mathbb{R},\ \exists x \in \mathbb{R} / f(x) = y$. Assim, $f(x) = y \Rightarrow x^{3} = y \Rightarrow x = \sqrt[3]{y}$. Agora, $f(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^{3} = y$. Logo $f$ é sobrejetora.

Injetora: $\forall x,y \in \mathbb{R}$, se $f(x) = f(y) \Rightarrow x^{3} = y^{3} \Rightarrow x = y$. Logo $f$ é injetora.

Como $f$ é sobrejetora e injetora, é bijetora. $\blacksquare$

Sobrejetora: $\forall y \in \mathbb{R},\ \exists x \in \mathbb{R} / f(x) = y$. Assim, $f(x) = y \Rightarrow 3x = y \Rightarrow x = y/3$. Agora, $f(y/3) = 3 \cdot (y/3) = y$. Logo $f$ é sobrejetora.

Injetora: se $f(x) = f(y) \Rightarrow 3x = 3y \Rightarrow x = y$. Logo $f$ é injetora.

Como $f$ é sobrejetora e injetora, é bijetora. $\blacksquare$

$\forall x \in \mathbb{R}$, $f(-x) = 2(-x)^{4} + (-x)^{2} - 1 = 2x^{4} + x^{2} - 1 = f(x)$. Logo $f$ é uma função par. $\blacksquare$

$\forall x \in \mathbb{R}$, $f(-x) = 2(-x) + 6 = -2x + 6 \ne f(x)$. Logo $f$ não é uma função par. $\blacksquare$

$\forall x \in \mathbb{R}$, $f(-x) = -x - x^{3} = -(x + x^{3}) = -f(x)$. Logo $f$ é uma função ímpar. $\blacksquare$

$\forall x \in \mathbb{R}$, $f(-x) = 1 + (-x)^{3} = 1 - x^{3} \ne -f(x)$. Logo $f$ não é uma função ímpar. $\blacksquare$

$\forall x \in \mathbb{R}$,

Logo $f$ é uma função ímpar. $\blacksquare$

$\forall x,y \in \mathbb{R}$, se $x < y \Rightarrow 2x < 2y \Rightarrow f(x) < f(y)$. Logo $f$ é uma função crescente. $\blacksquare$

$\forall x,y \in \mathbb{R}_{+}$, se $x < y$, então $x+y > 0$ e $y - x > 0$. Assim $(x+y)(y-x) > 0 \Rightarrow y^{2} - x^{2} > 0 \Rightarrow y^{2} > x^{2} \Rightarrow f(x) < f(y)$. Logo $f$ é uma função crescente. $\blacksquare$

$\forall x,y \in \mathbb{R}$, se $x < y \Rightarrow -x > -y \Rightarrow -x+2 > -y+2 \Rightarrow f(x) > f(y)$. Logo $f$ é uma função decrescente. $\blacksquare$

$\forall x,y \in \mathbb{R}$, se $x < y \Rightarrow -3x > -3y \Rightarrow -3x+1 > -3y+1 \Rightarrow f(x) > f(y)$. Logo $f$ é uma função decrescente. $\blacksquare$

$\forall x,y \in \mathbb{R}$, se $x < y \Rightarrow -7x > -7y \Rightarrow -7x+2 > -7y+2 \Rightarrow f(x) > f(y)$. Logo $f$ é uma função decrescente. $\blacksquare$