Cardinalidade de um conjunto

A cardinalidade de um conjunto é a quantidade de elementos que o conjunto possui.

Exemplo

Sejam $A = \{x, y, w, z\}$ e $B = \{x \in \mathbb{N} / 5 \le x \le 10\}$. Assim, $\operatorname{Card}(A) = 4$ e $\operatorname{Card}(B) = 6$. Com isso, $\operatorname{Card}(A) < \operatorname{Card}(B)$.

Conjuntos infinitos

A cardinalidade torna-se mais complexa quando estamos nos referindo aos conjuntos infinitos, já que não podemos contar todos os seus elementos. Quando estendemos a noção de cardinalidade a conjuntos infinitos, devemos levar em conta outros aspectos.

Qualquer conjunto $X$ com cardinalidade menor que a do conjunto dos números naturais, ou $\operatorname{Card}(X) < \operatorname{Card}(\mathbb{N})$, é dito conjunto finito.

Qualquer conjunto $X$ que tenha a mesma cardinalidade do conjunto dos números naturais, ou seja, $\operatorname{Card}(\mathbb{N}) = \operatorname{Card}(X) = \aleph_{0}$, é denominado conjunto enumerável.

Note que $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ têm a mesma cardinalidade, isto é, podemos estabelecer uma relação biunívoca (um-a-um) entre todos os seus elementos, alternando entre os inteiros positivos e negativos:

$$1 \to 0, \quad 2 \to 1, \quad 3 \to -1, \quad 4 \to 2, \quad 5 \to -2, \quad \ldots$$

Repare que todo número natural $n$ é enviado para um único inteiro (positivo quando $n$ é par, negativo quando $n$ é ímpar, com $1 \to 0$), e todo inteiro é alcançado por exatamente um natural. Por isso essa relação é biunívoca, e $\operatorname{Card}(\mathbb{N}) = \operatorname{Card}(\mathbb{Z})$.

Alguns conjuntos infinitos não conseguimos fazer uma relação biunívoca deles com os números naturais: são os chamados não enumeráveis, por exemplo, os números reais.

Um conjunto enumerável: ℤ × ℤ

Nem todo produto de conjuntos infinitos "parece" enumerável à primeira vista, mas $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ é enumerável: basta percorrer o plano em diagonais, o que dá uma relação biunívoca com $\mathbb{N}$.

O intervalo (0, 1) não é enumerável

Diferente de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, o intervalo $(0, 1) \subset \mathbb{R}$ não admite relação biunívoca com $\mathbb{N}$. O argumento clássico para provar isso é a diagonal de Cantor.

Demonstrações mais gerais sobre cardinalidades de conjuntos infinitos (como comparar $\operatorname{Card}(\mathbb{R})$ com $\operatorname{Card}(P(\mathbb{R}))$) ficam fora do escopo deste curso.

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