Prova 1 — Matrizes e conjuntos

a) Numerando os termos a partir de $n=0$, as diferenças sucessivas são $-1, 5, 17, 35, 59, 89, 125, \ldots$, as segundas diferenças são $6, 12, 18, 24, 30, 36$ e as terceiras diferenças são constantes e iguais a $6$. Uma terceira diferença constante indica um polinômio de grau $3$ em $n$, com coeficiente líder $6/3! = 1$. Ajustando o polinômio $A(n) = n^{3} + bn^{2} + cn + d$ aos valores $A(0)=1$, $A(1)=0$ e $A(2)=5$, obtém-se $d=1$, $b=0$ e $c=-2$. Assim $A(n) = n^{3} - 2n + 1$, e a verificação com os demais termos confirma o padrão (por exemplo, $A(7) = 343 - 14 + 1 = 330$).

b) As diferenças sucessivas são $2, 6, 10, 14, 18, 22$ e as segundas diferenças são constantes e iguais a $4$, indicando um polinômio quadrático com coeficiente líder $4/2 = 2$. Ajustando $B(n) = 2n^{2} + bn + c$ aos valores $B(0)=-4$ e $B(1)=-2$, obtém-se $c=-4$ e $b=0$. Assim $B(n) = 2n^{2} - 4$.

c) É uma progressão aritmética de razão $1/2$, começando em $2$ para $n = 0$. Assim $C(n) = \tfrac{1}{2}n + 2$.

Resolvendo a inequação que define $A$:

Logo $A = [-2, 4]$. Comparando com $B = (-1, 3)$: o elemento $x = -2$ pertence a $A$, mas não pertence a $B$ (pois $-2 < -1$). Da mesma forma, $x = 4 \in A$, mas $4 \notin B$.

Como existe pelo menos um elemento de $A$ que não está em $B$, a afirmação $A \subset B$ não é verdadeira para os conjuntos como enunciados — há uma inconsistência no enunciado. O maior conjunto correto para o qual a inclusão vale é $B' = [-2, 4]$, ou qualquer intervalo que o contenha, como $(-3, 5)$.

a) Para cada $q \in \{1,2,4,5\}$: $q=1 \Rightarrow x=2(1)-3=-1$ (não pertence a $\mathbb{N}$, descartado); $q=2 \Rightarrow x=2(4)-3=5$; $q=4 \Rightarrow x=2(16)-3=29$; $q=5 \Rightarrow x=2(25)-3=47$.

b) Com $y \ge 1$ e $z \le 5$, a condição $y<x<z$ só pode valer para $x \in \{2,3,4\}$: $x=2$ com $y=1,z=3$; $x=3$ com $y=1,z=4$; $x=4$ com $y=1,z=5$.

c) Números primos estritamente entre $2$ e $15$: $3, 5, 7, 11, 13$ (o próprio $2$ fica de fora, pois a condição é $2 < x$).

d) $x^{2} = -117-4 = -121 \Rightarrow x = \pm\sqrt{-121} = \pm 11i$.

e) Inteiros com valor absoluto menor que $6$: de $-5$ a $5$.

a) Calculando $a_{ij} = 2^{i-1}(3j-2)$ para cada posição:

b) Multiplicando linha de $A$ por coluna de $B$:

c) $B^{T} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \end{bmatrix}$. Multiplicando linha de $B^{T}$ por coluna de $A$:

d) $A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 4 & 8 & 16 \\ 7 & 14 & 28 \end{bmatrix}$. Multiplicando linha de $A^{T}$ por coluna de $B$:

Na multiplicação booleana de matrizes, cada posição $(i,j)$ do resultado é $\bigvee_k (a_{ik} \wedge c_{kj})$: o E lógico entre os pares e depois o OU lógico entre os resultados.

a) Calculando $A \times C$ posição a posição obtém-se uma imagem com toda a borda branca ($1$) e o miolo $2 \times 2$ preto ($0$):

b) Calculando $B \times C$ da mesma forma:

Igualando a $0$: $x^{2} - 9x + 20 = 0$. Usando a fórmula de Bhaskara:

Logo $x = 5$ ou $x = 4$.

Igualando posição a posição em $R - 6S = T$:

Da primeira equação: $b = 4 - 6 = -2$.

Da segunda: $16^{y} = 8 + 24 = 32 \Rightarrow (2^{4})^{y} = 2^{5} \Rightarrow 2^{4y} = 2^{5} \Rightarrow 4y = 5 \Rightarrow y = \tfrac{5}{4}$.

Da terceira: $c = -1 - 12 = -13$.

Da quarta: $9^{x} = 27 + 54 = 81 \Rightarrow (3^{2})^{x} = 3^{4} \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.

Da quinta, com $b=-2$: $a - 6(-2) = 13 \Rightarrow a + 12 = 13 \Rightarrow a = 1$.