Prova 1: Matrizes e conjuntos

Nos três itens numeramos os termos a partir de $n = 0$ e procuramos o termo geral $f(n)$. A ferramenta é a tabela de diferenças: a linha $\Delta$ traz a diferença entre cada termo e o anterior, a linha $\Delta^{2}$ faz o mesmo sobre a linha $\Delta$, e assim por diante.

O grau do polinômio é o nível em que as diferenças ficam constantes, e essa constante vale $k!\,a$, onde $k$ é o grau e $a$ é o coeficiente líder.

a) Diferenças de $A = \{1, 0, 5, 22, 57, 116, 205, 330, \ldots\}$:

Os elementos estão listados na ordem em que $n$ os gera ($n = 0, 1, 2, \ldots$), e não em ordem crescente. A função $f$ decresce de $f(0) = 1$ para $f(1) = 0$ e só a partir daí passa a crescer, por isso o $1$ aparece antes do $0$, e por isso a primeira diferença, $0 - 1$, é negativa. Nos itens b) e c) isso não acontece porque lá $f$ cresce desde $n = 0$.

As terceiras diferenças são constantes e iguais a $6$, logo o termo geral é de $3°$ grau, com coeficiente líder $6/3! = 1$:

Subtraindo $b+c=-2$ de $2b+c=-2$: $b = 0$, logo $c = -2$.

Conferindo com o último termo listado: $f(7) = 343 - 14 + 1 = 330$ ✓

b) Diferenças de $B = \{-4, -2, 4, 14, 28, 46, 68, \ldots\}$:

As segundas diferenças são constantes e iguais a $4$, logo o termo geral é de $2°$ grau, com coeficiente líder $4/2! = 2$:

c) Diferenças de $C = \{2, 5/2, 3, 7/2, 4, 9/2, 5, 11/2, \ldots\}$:

As primeiras diferenças já são constantes e iguais a $\tfrac{1}{2}$, logo o termo geral é de $1°$ grau, com coeficiente líder $\tfrac{1}{2}/1! = \tfrac{1}{2}$:

Resolvendo a inequação que define $A$:

Logo $A = [-2, 4]$. Comparando com $B = (-1, 3)$: o elemento $x = -2$ pertence a $A$, mas não pertence a $B$ (pois $-2 < -1$). Da mesma forma, $x = 4 \in A$, mas $4 \notin B$.

Como existe pelo menos um elemento de $A$ que não está em $B$, a afirmação $A \subset B$ não é verdadeira para os conjuntos como enunciados: há uma inconsistência no enunciado. O maior conjunto correto para o qual a inclusão vale é $B' = [-2, 4]$, ou qualquer intervalo que o contenha, como $(-3, 5)$.

a) Para cada $q \in \{1,2,4,5\}$: $q=1 \Rightarrow x=2(1)-3=-1$ (não pertence a $\mathbb{N}$, descartado); $q=2 \Rightarrow x=2(4)-3=5$; $q=4 \Rightarrow x=2(16)-3=29$; $q=5 \Rightarrow x=2(25)-3=47$.

b) Com $y \ge 1$ e $z \le 5$, a condição $y<x<z$ só pode valer para $x \in \{2,3,4\}$: $x=2$ com $y=1,z=3$; $x=3$ com $y=1,z=4$; $x=4$ com $y=1,z=5$.

c) Números primos estritamente entre $2$ e $15$: $3, 5, 7, 11, 13$ (o próprio $2$ fica de fora, pois a condição é $2 < x$).

d) $x^{2} = -117-4 = -121 \Rightarrow x = \pm\sqrt{-121} = \pm 11i$.

e) Inteiros com valor absoluto menor que $6$: de $-5$ a $5$.

a) Calculando $a_{ij} = 2^{i-1}(3j-2)$ para cada posição:

b) Multiplicando linha de $A$ por coluna de $B$:

c) $B^{T} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \end{bmatrix}$. Multiplicando linha de $B^{T}$ por coluna de $A$:

d) $A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 4 & 8 & 16 \\ 7 & 14 & 28 \end{bmatrix}$. Multiplicando linha de $A^{T}$ por coluna de $B$:

Na multiplicação booleana de matrizes, cada posição $(i,j)$ do resultado é $\bigvee_k (a_{ik} \wedge c_{kj})$: o E lógico entre os pares e depois o OU lógico entre os resultados.

a) Calculando $A \times C$ posição a posição obtém-se uma imagem com toda a borda branca ($1$) e o miolo $2 \times 2$ preto ($0$):

b) Calculando $B \times C$ da mesma forma:

Igualando a $0$: $x^{2} - 9x + 20 = 0$. Usando a fórmula de Bhaskara:

Logo $x = 5$ ou $x = 4$.

Igualando posição a posição em $R - 6S = T$:

Da primeira equação: $b = 4 - 6 = -2$.

Da segunda: $16^{y} = 8 + 24 = 32 \Rightarrow (2^{4})^{y} = 2^{5} \Rightarrow 2^{4y} = 2^{5} \Rightarrow 4y = 5 \Rightarrow y = \tfrac{5}{4}$.

Da terceira: $c = -1 - 12 = -13$.

Da quarta: $9^{x} = 27 + 54 = 81 \Rightarrow (3^{2})^{x} = 3^{4} \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.

Da quinta, com $b=-2$: $a - 6(-2) = 13 \Rightarrow a + 12 = 13 \Rightarrow a = 1$.