Lista 1 — Matrizes e conjuntos

Lista de exercícios 1 de Matemática Aplicada à Computação — Instituto Federal da Paraíba, curso de Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas, 1º período, semestre 2026.2, professor Suemilton Nunes Gervázio. Cobre matrizes, matrizes booleanas e teoria dos conjuntos. Tente cada questão sozinho antes de abrir a resposta.

Questão 1

Em um estudo sobre a reciprocidade das relações entre três componentes de um sistema, os pesquisadores representaram as interações por meio da matriz

A = \begin{bmatrix} 5 & 3x & y-2 \\ y-2 & -3 & x+4 \\ 18 & 10 & 6 \end{bmatrix}

Para que o modelo seja consistente com o princípio de que a interação entre dois componentes possui a mesma intensidade em ambos os sentidos, a matriz $A$ deve ser simétrica. Sabendo que $x, y \in \mathbb{R}$ , determine o valor da expressão $2x^{2} - 3y + 7$ .

a) $11$
b) $15$
c) $19$
d) $23$
e) $27$

A

Resposta

19

Questão 2

Em um estudo de redes de transporte urbano, uma matriz de interação é utilizada para representar o fluxo relativo entre três regiões de uma cidade. Por uma condição de reciprocidade do modelo, a intensidade da interação entre duas regiões deve ser a mesma independentemente do sentido considerado. Dessa forma, a matriz de coeficientes deve ser simétrica. Considere a matriz:

A = \begin{bmatrix} 2 & x+2 & 2z-1 \\ y-3 & 5 & 3x-2 \\ z+4 & y+1 & -1 \end{bmatrix}

Sabendo que $A$ é simétrica e que $x, y, z \in \mathbb{R}$ , determine o valor de $x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy + 3z$ .

a) $60$
b) $101$
c) $102$
d) $65$
e) $104$

a_{ij} = a_{ji}

Resposta

101

Questão 3

Determine o elemento $C_{22}$ da matriz $C = A \times B$ , onde

A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 5 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}

C_{22}

Resposta

C_{22} = 4

Questão 4

Uma matriz quadrada $A$ de ordem $2$ possui lei de formação $b_{ij} = 3i - 2j + 1$ e a matriz

B = \begin{bmatrix} 10 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}

Assim, determine $A \times B$ e $B \times (-2A)$ .

A

Resposta

A \times B = \begin{bmatrix} 20 & 4 \\ 59 & 7 \end{bmatrix} \qquad B \times (-2A) = \begin{bmatrix} -60 & -12 \\ -2 & 6 \end{bmatrix}

Questão 5 SEEDUCRJ, adaptada

Sejam dadas as matrizes

A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

onde se tem que $A \cdot X = A + B$ . Assim, determine a matriz $X$ .

A + B

Resposta

X = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}

Questão 6 Anglo, adaptada

Sejam $A$ , $B$ e $C$ matrizes onde

A = \begin{bmatrix} x+3 & 11 \\ 9 & 2y-7 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} -4 & -5 \\ 2 & 9 \end{bmatrix} \qquad C = \begin{bmatrix} -1 & 16 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}

Sabendo que $A = B + C$ , então qual é o valor de $2x - 3y$ ?

B + C

Resposta

2x - 3y = -46

Questão 7

Se $A$ e $B$ são duas matrizes onde

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Então qual a matriz resultante de $[A \cdot B]^{2023}$ ?

A \cdot B

Resposta

[A \cdot B]^{2023} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}

Questão 8 Anglo, adaptada

Sejam as matrizes

A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Qual é a matriz equivalente a $A^{102}$ ?

a) $A$
b) $I_{2}$
c) $-1 \cdot A$
d) $-I_{2}$
e) $-2 \cdot A$

A^{2}

Resposta

I_{2}

Questão 9 Anglo, adaptada

Com as mesmas matrizes $A$ e $B$ da questão anterior, qual é a matriz equivalente a $B^{3}$ ?

a) $\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$
b) $\begin{bmatrix} 1&3 \\ 0&1 \end{bmatrix}$
c) $\begin{bmatrix} 1&2 \\ 0&1 \end{bmatrix}$
d) $\begin{bmatrix} -1&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix}$
e) $\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}$

B^{2} = B \cdot B = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&2 \\ 0&1 \end{bmatrix}

Resposta

\begin{bmatrix} 1&3 \\ 0&1 \end{bmatrix}

Questão 10 Anglo, adaptada

Com as mesmas matrizes $A$ e $B$ da questão 8, qual é a matriz equivalente a $A^{102} \cdot B^{3}$ ?

a) $\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$
b) $\begin{bmatrix} 1&3 \\ 0&1 \end{bmatrix}$
c) $\begin{bmatrix} 1&2 \\ 0&1 \end{bmatrix}$
d) $\begin{bmatrix} -1&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix}$
e) $\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}$

A^{102} = I_{2}

Resposta

\begin{bmatrix} 1&3 \\ 0&1 \end{bmatrix}

Questão 11 Cefet MG

A matriz $A$ é inversa de $B$ . Pode-se afirmar que a diferença $x - y$ é igual a:

A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & x \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 3 & y \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

a) $-8$
b) $-2$
c) $2$
d) $6$
e) $8$

A

Resposta

8

Questão 12

Sejam as matrizes booleanas a seguir:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Assim, determine:

a) $A \vee B$

b) $A \vee C$

c) $B \vee C$

d) $A \wedge B$

e) $A \wedge C$

f) $B \wedge C$

g) $A \times B$

h) $B \times C$

\vee

Resposta

A \vee B = A \vee C = B \vee C = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 1&1 \end{pmatrix}

Questão 13

Sejam as matrizes booleanas $A$ , $B$ e $C$ apresentadas a seguir:

A = \begin{bmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&1&1 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} 0&0&1 \\ 0&0&0 \\ 0&1&0 \end{bmatrix} \qquad C = \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 0&1&0 \\ 1&1&0 \end{bmatrix}

Assim, calcule:

a) $(C \wedge B) \vee A$

b) $A \times B$ (multiplicação booleana de matrizes)

c) $B \times C$ (multiplicação booleana de matrizes)

d) $A \times C$ (multiplicação booleana de matrizes)

C \wedge B

Resposta

(C \wedge B) \vee A = \begin{bmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&1&1 \end{bmatrix}

Questão 14

Escreva o seguinte conjunto, fornecendo-lhe uma propriedade característica que envolve todos os elementos.

A = \{-4, -1, 8, 23, 44, 71, \ldots\}

3, 9, 15, 21, 27

Resposta

A = \{x \in \mathbb{Z} / x = 3n^{2}-4,\ n \in \mathbb{N}\}

Questão 15

Escreva o seguinte conjunto, fornecendo-lhe uma propriedade característica que envolve todos os elementos.

A = \{2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, \ldots\}

5

Resposta

A = \{x \in \mathbb{N} / x = 5n+2,\ n \in \mathbb{N}\}

Questão 16

Escreva o seguinte conjunto, fornecendo-lhe uma propriedade característica que envolve todos os elementos.

A = \{3, 4, 11, 30, 67, 128, \ldots\}

1, 7, 19, 37, 61

Resposta

A = \{x \in \mathbb{N} / x = n^{3}+3,\ n \in \mathbb{N}\}

Questão 17

Escreva o seguinte conjunto, fornecendo-lhe uma propriedade característica que envolve todos os elementos.

A = \{-3, -1, 5, 15, 29, 47, 69, \ldots\}

2, 6, 10, 14, 18, 22

Resposta

A = \{x \in \mathbb{Z} / x = 2n^{2}-3,\ n \in \mathbb{N}\}

Sejam $A$ , $B$ , $C$ e $D$ conjuntos.

Questão 18

Mostre que se $A = B$ e $B = C \Rightarrow A = C$ .

Resposta

(\forall x)\ x \in A \iff x \in B

Questão 19

Mostre que $A \subseteq B$ e $B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C$ .

Resposta

(\forall x),\ x \in A \Rightarrow x \in B

Questão 20

Mostre que $A \subseteq B$ e $C \subseteq D \Rightarrow (A \cup C) \subseteq (B \cup D)$ .

Resposta

(A \cup C) = \{x / x \in A \text{ ou } x \in C\}

Questão 21

Mostre que $A \subseteq B$ e $C \subseteq D \Rightarrow (A \cap C) \subseteq (B \cap D)$ .

Resposta

(A \cap C) = \{x / x \in A \text{ e } x \in C\}

Questão 22

Mostre que $A = B$ e $C = D \Rightarrow (A \cup C) = (B \cup D)$ .

Resposta

(A \cup C) = \{x / x \in A \text{ ou } x \in C\}

Questão 23

Mostre que $A = B$ e $C = D \Rightarrow (A \cap C) = (B \cap D)$ .

Resposta

(A \cap C) = \{x / x \in A \text{ e } x \in C\}

Questão 24

Mostre que $A - A = \{\,\}$ .

Resposta

A - A = \{x / x \in A \text{ e } x \notin A\}

Questão 25

Prove que $(A \cap B) \subseteq A$ , onde $A$ e $B$ são conjuntos arbitrários.

Resposta

(\forall x) \in (A \cap B) \Rightarrow x \in A

Questão 26

Prove que $A \subseteq (A \cup B)$ , onde $A$ e $B$ são conjuntos arbitrários.

Resposta

(\forall x) \in A \Rightarrow x \in A

Questão 27

Prove que se $A \cup B = A - B$ , então $B = \{\,\}$ .

Resposta

(A \cup B) = A - B

Questão 28

Prove que se $(A - B) \cup (B - A) = A \cup B$ , então $A \cap B = \{\,\}$ .

Resposta

(A-B) = \{x / x \in A \text{ e } x \notin B\}

Questão 29

Seja $B$ um conjunto finito e $A \subset B$ , então mostre que $\mathrm{Card}(A) < \mathrm{Card}(B)$ .

Resposta

\mathrm{Card}(B) = n

Questão 30

Seja $A = \{x / x \in \mathbb{R} \text{ e } x^{2} - 4x + 3 < 0\}$ e $B = \{x / x \in \mathbb{R} \text{ e } 0 < x < 6\}$ . Mostre que $A \subset B$ .

x^{2}-4x+3<0

Resposta

A = \{x \in \mathbb{R} / 1 < x < 3\}

Questão 31

Em relação ao conjunto $A = \{1, 2, 3, 4\}$ , quantos subconjuntos ele possui? Quais são eles?

n

Resposta

16

Questão 32

Sejam os conjuntos $A = \{x \in \mathbb{N} / x \text{ é múltiplo de } 2\}$ e $B = \{x \in \mathbb{N} / x \text{ é múltiplo de } 6\}$ . Assim sendo, mostre que $B \subseteq A$ .

Resposta

A = \{x \in \mathbb{N} / x = 2k,\ \text{com}\ k \in \mathbb{Z}\}

Questão 33

Sejam os conjuntos $A = \{x \in \mathbb{N} / x \text{ é múltiplo de } 5\}$ e $B = \{x \in \mathbb{N} / x \text{ é múltiplo de } 10\}$ . Assim sendo, mostre que $B \subseteq A$ .

Resposta

A = \{x \in \mathbb{N} / x = 5k,\ \text{com}\ k \in \mathbb{Z}\}

Questão 34

Seja $A = \{x / x \in \mathbb{N} \text{ e } x^{2} < 15\}$ e $B = \{x / x \in \mathbb{N} \text{ e } 2x < 7\}$ . Então mostre que $A = B$ .

A

Resposta

A \subseteq B

Questão 35

Sejam $A = \{1, 2\}$ e $B = \{3, 4\}$ .

a) Encontre $A \times B$ .

b) Encontre $B \times A$ .

c) Encontre $A^{2}$ .

d) Encontre $B^{2}$ .

Resposta

A \times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}

Questão 36

Descreva cada um dos conjuntos a seguir, listando seus elementos:

a) $A = \{x / x \in \mathbb{N} \text{ e } x^{2} < 25\}$

b) $B = \{x / x \in \mathbb{N},\ x \text{ é par e } 2 < x < 11\}$

c) $C = \{x / x \in \mathbb{C} \text{ e } x^{2} = -9\}$

d) $D = \{x / x \in \mathbb{Z} \text{ e } |x| < 4\}$

Resposta

A = \{0, 1, 2, 3, 4\}

Questão 37

Descreva cada um dos conjuntos a seguir:

a) $A = \{x / x \in \mathbb{N},\ \exists q\, (q \in \{2, 3\} \text{ e } x = 2q)\}$

b) $B = \{x / x \in \mathbb{N},\ \exists y\, \exists z\, (y \in \{0, 1\},\ z \in \{3, 4\} \text{ e } y < x < z)\}$

q=2

Resposta

A = \{4, 6\} \qquad B = \{1, 2, 3\}

Questão 38

Prove que se $A \subseteq B$ , então $\mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(B)$ .

Resposta

X \in \mathcal{P}(A)

Questão 39

Se $A$ é um conjunto tal que $n(A \times A) = 9$ e $\{(2,4), (4,5)\} \subset A \times A$ , determinar $A \times A$ .

n(A \times A) = n(A)^{2} = 9

Resposta

A \times A = \{(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (4,5), (5,2), (5,4), (5,5)\}

Questão 40

Dados os conjuntos $A = \{3, 4, 6\}$ , $B = \{1, 2\}$ e $C = \{3, 6, 9, 12\}$ , determine o conjunto $(C - A) \times B$ .

C - A = \{9, 12\}

Resposta

(C - A) \times B = \{(9,1), (9,2), (12,1), (12,2)\}

Questão 41

Dado o conjunto $A = \{0, 1\}$ , calcule os valores numéricos que assume o trinômio $2x + xy - 5y$ para todos os pares ordenados $(x, y)$ que pertencem ao produto $A \times A$ .

A \times A = \{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}

Resposta

(0,0) \to 0

Questão 42 FTD, adaptada

Considere dois conjuntos $A$ e $B$ não vazios. A união desses conjuntos possui $31$ elementos, e a intersecção $9$ elementos. Sabendo que há $21$ elementos em $B$ , determine a quantidade de elementos em $A$ .

n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)

Resposta

A

Questão 43 FTD, adaptada

Considerando os conjuntos $A$ e $B$ em que

A \cup B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}

A - B = \{1, 2, 6, 7\} \qquad B - A = \{-1, 0, 8, 9, 10\}

então quais são todos os elementos do conjunto $A \cap B$ ?

A \cap B

Resposta

A \cap B = \{3, 4, 5, 11, 12\}

Questão 44 PUCC, adaptada

Sejam os conjuntos $A = \{x \in \mathbb{R} / 0 \le x \le 5\}$ e $B = \{x \in \mathbb{R} / 3 \le x \le 7\}$ . Assim, o resultado do produto cartesiano entre os conjuntos, resultante de $(A - B) \times (B - A)$ é representado por qual das regiões a seguir?

a) $R_1$
b) $R_2$
c) $R_3$
d) $R_4$
e) $R_1 \cup R_4$

A - B = [0, 3) \qquad B - A = (5, 7]

Resposta

R_{4}

Questão 45 UNIFACS, adaptada

As imagens vistas em uma página na Internet, assim como fotos tiradas com máquinas digitais, podem ser representadas usando-se matrizes. Uma imagem, em preto e branco, pode ser representada por uma matriz cujos termos são os números $0$ e $1$ , especificando a cor do pixel: $0$ indica a cor preta e $1$ , a cor branca. Conforme ilustração a seguir:

\small (a_{ij})_{5 \times 3} = \begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1 \\ 0&1&1 \\ 0&1&1 \end{pmatrix}

Considerando-se a figura acima, sua representação matricial, e sabendo que a matriz $B = (b_{ij})_{3 \times 5}$ , em que $b_{ij} = a_{ji}$ , então a matriz $B$ será representada por qual imagem a seguir?

b_{ij} = a_{ji}

Resposta

B = \begin{bmatrix} 0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&1&1 \\ 0&1&1&1&1 \end{bmatrix}

Questão 46

Em uma rede de comunicação entre computadores, pode-se representar a existência de uma conexão direta entre dois dispositivos por meio de uma matriz booleana. Nessa representação, o valor $1$ indica que existe conexão e o valor $0$ indica que não existe. Considere uma rede formada pelos dispositivos $A$ , $B$ , $C$ e $D$ , cuja matriz de conexões diretas é

M = \begin{bmatrix} 0&1&1&0 \\ 0&0&1&1 \\ 1&0&0&1 \\ 0&0&1&0 \end{bmatrix}

Considere também a matriz

N = \begin{bmatrix} 1&0&0&1 \\ 0&1&1&0 \\ 1&0&1&0 \\ 0&1&0&1 \end{bmatrix}

Na multiplicação booleana de matrizes, a multiplicação usual é substituída pela operação E ( $\wedge$ ) e a adição pela operação OU ( $\vee$ ). Assim,

(M \odot N)_{ij} = (m_{i1} \wedge n_{1j}) \vee (m_{i2} \wedge n_{2j}) \vee \cdots \vee (m_{i4} \wedge n_{4j})

Determine a matriz booleana $M \odot N$ .

i

Resposta

M \odot N = \begin{bmatrix} 1&1&1&0 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&0&1 \\ 1&0&1&0 \end{bmatrix}