Função composta

Definição e cálculo da função composta.

2 min de leituraPré-requisitos:Funções

Dados os conjuntos $A$ , $B$ e $C$ e as funções $f : A \to B$ e $g : B \to C$ definida por $z = g(y)$ , chama-se função composta de $g$ com $f$ a função:

h = (g \circ f) : A \to C, \quad \text{definida por} \quad h = (g \circ f)(x) = g(f(x))

Assim, a função $(g \circ f)$ pode ser entendida como a função única que representa o mesmo resultado que as aplicações sucessivas de $f$ e $g$ .

Note a ordem: em $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ , aplicamos primeiro $f$ , depois $g$ , mesmo que $g$ apareça escrita à esquerda. Para $g \circ f$ fazer sentido, o contradomínio de $f$ precisa ser (ou estar contido em) o domínio de $g$ , já que a saída de $f$ vira a entrada de $g$ .

A ordem importa

Em geral $g \circ f \neq f \circ g$ : compor não é comutativo. O item (a) e (b) do primeiro exercício mostram isso na prática: $f(g(x)) = 5x + 13$ mas $g(f(x)) = 5x + 1$ , resultados diferentes para a mesma dupla de funções.

Exercícios

Exercício

Sejam as funções $f(x) = 5x - 2$ e $g(x) = x + 3$ . Determine:

a) $f(g(x))$ b) $g(f(x))$ c) $f(g(1))$ d) $g(f(3))$

e) $f(g(0))$ f) $f(g(4))$ g) $g(f(2))$ h) $g(f(0))$

f(g(x)) = 5(x + 3) - 2 = 5x + 15 - 2 = 5x + 13

Exercício

Sejam $f(x) = x^{2} + 4x - 5$ e $g(x) = 2x - 3$ . Então calcule:

a) $f(g(x))$ b) $f \circ f(x)$ c) $g \circ f(x)$ d) $g(g(x))$

f(g(x)) = (2x - 3)^{2} + 4(2x - 3) - 5 = 4x^{2} - 12x + 9 + 8x - 12 - 5 = 4x^{2} - 4x - 8

Exercício

Seja $f$ uma função tal que $f(4) = 2$ , e seja $g(x) = f(x-1) + 1$ . Determine $g(5)$ .

g(5) = f(5-1) + 1 = f(4) + 1 = 2 + 1 = 3

Módulo 4Tópico 4 de 8

Função composta

Definição e cálculo da função composta.

2 min de leituraPré-requisitos:Funções

Dados os conjuntos $A$ , $B$ e $C$ e as funções $f : A \to B$ e $g : B \to C$ definida por $z = g(y)$ , chama-se função composta de $g$ com $f$ a função:

h = (g \circ f) : A \to C, \quad \text{definida por} \quad h = (g \circ f)(x) = g(f(x))

Assim, a função $(g \circ f)$ pode ser entendida como a função única que representa o mesmo resultado que as aplicações sucessivas de $f$ e $g$ .

A ordem importa

Exercícios

Exercício

Sejam as funções $f(x) = 5x - 2$ e $g(x) = x + 3$ . Determine:

a) $f(g(x))$ b) $g(f(x))$ c) $f(g(1))$ d) $g(f(3))$

e) $f(g(0))$ f) $f(g(4))$ g) $g(f(2))$ h) $g(f(0))$

f(g(x)) = 5(x + 3) - 2 = 5x + 15 - 2 = 5x + 13

Exercício

Sejam $f(x) = x^{2} + 4x - 5$ e $g(x) = 2x - 3$ . Então calcule:

a) $f(g(x))$ b) $f \circ f(x)$ c) $g \circ f(x)$ d) $g(g(x))$

f(g(x)) = (2x - 3)^{2} + 4(2x - 3) - 5 = 4x^{2} - 12x + 9 + 8x - 12 - 5 = 4x^{2} - 4x - 8

Exercício

Seja $f$ uma função tal que $f(4) = 2$ , e seja $g(x) = f(x-1) + 1$ . Determine $g(5)$ .

g(5) = f(5-1) + 1 = f(4) + 1 = 2 + 1 = 3