Uma função f:A→B é par se, e somente se, ∀x∈A,f(−x)=f(x).
Geometricamente, o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo
y — o lado esquerdo é o espelho do lado direito.
Como consequência, uma função par com mais de um valor no domínio (além de
x=0) nunca é injetora: por
definição f(−x)=f(x) para x=−x, ou seja, dois elementos distintos
do domínio sempre compartilham a mesma imagem.
Exercício proposto
Mostre que a função f:R→R definida por f(x)=x2−2
é par.
Resposta
(∀x)∈R. Temos f(−x)=(−x)2−2=x2−2. Logo
f(−x)=f(x). Portanto f é uma função par. ■
Exercício proposto
Mostre que a função f:R→R definida por
f(x)=2x4+x2−1 é par.
Resposta
(∀x)∈R. Temos
f(−x)=2(−x)4+(−x)2−1=2x4+x2−1. Logo f(−x)=f(x).
Portanto f é uma função par.
■
Função ímpar
Uma função f:A→B é ímpar se, e somente se,
∀x∈A,f(−x)=−f(x). Geometricamente, o gráfico de uma função
ímpar é simétrico em relação à origem: girar o gráfico 180° em torno de
(0,0) devolve o mesmo gráfico.
Exercício proposto
Mostre que a função f:R→R definida por
f(x)=x5+x é ímpar.
Resposta
(∀x)∈R. Temos
f(−x)=(−x)5+(−x)=−x5−x=−(x5+x)=−f(x). Logo f é uma
função ímpar. ■
Exercício proposto
Mostre que a função f:R→R definida por
f(x)=x3x2−3 é ímpar.
Resposta
(∀x)∈R. Temos
f(−x)=(−x)3(−x)2−3=−x3x2−3=−x3x2−3=−f(x)
Logo f é uma função ímpar. ■
Exercício proposto
Mostre que a função f:R→R definida por
f(x)=1+x3não é ímpar.
Resposta
(∀x)∈R. Temos f(−x)=1+(−x)3=1−x3. Como
−f(x)=−1−x3, então f(−x)=−f(x). Logo fnão é uma função
ímpar. ■
Par, ímpar, ou nenhuma das duas
Uma função pode ser par, ímpar, ou nenhuma das duas — não existe uma
terceira opção obrigatória. Por exemplo,
f(x)=x3x−2x=−x21 satisfaz f(−x)=f(x),
logo é par, mesmo com uma fórmula que mistura sinais.
Operações com funções
Sejam f:Df→R e g:Dg→R duas funções reais.
Definimos a soma f+g, a diferença f−g, o produto f⋅g e o
quociente f/g da seguinte forma: