Funções par e ímpar, operações com funções

Função par

Uma função $f : A \to B$ é par se, e somente se, $\forall x \in A,\ f(-x) = f(x)$. Geometricamente, o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo $y$: o lado esquerdo é o espelho do lado direito.

Como consequência, uma função par com mais de um valor no domínio (além de $x = 0$) nunca é injetora: por definição $f(-x) = f(x)$ para $x \ne -x$, ou seja, dois elementos distintos do domínio sempre compartilham a mesma imagem.

$$\boxed{f(-x) = f(x)}$$

Isso significa que, ao trocar $x$ por $-x$, o resultado permanece igual.

Como verificar

1. Calcule $f(-x)$, substituindo $x$ por $-x$ na fórmula.
2. Simplifique a expressão obtida.
3. Compare com $f(x)$: se forem iguais, a função é par.

Exemplo

Considere:

$$f(x) = x^{2} + 4$$

Calculando $f(-x)$:

$$f(-x) = (-x)^{2} + 4$$

Como $(-x)^{2} = x^{2}$:

$$f(-x) = x^{2} + 4$$

Logo $f(-x) = f(x)$. A função é par.

Função ímpar

Uma função $f : A \to B$ é ímpar se, e somente se, $\forall x \in A,\ f(-x) = -f(x)$. Geometricamente, o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem: girar o gráfico $180°$ em torno de $(0,0)$ devolve o mesmo gráfico.

$$\boxed{f(-x) = -f(x)}$$

Ao trocar $x$ por $-x$, o resultado deve ser o oposto de $f(x)$.

Como verificar

1. Calcule $f(-x)$, substituindo $x$ por $-x$ na fórmula.
2. Simplifique a expressão obtida.
3. Compare com $-f(x)$: se forem iguais, a função é ímpar.

Exemplo

Considere:

$$f(x) = x^{3}$$

Calculando $f(-x)$:

$$f(-x) = (-x)^{3}$$

Como $(-x)^{3} = -x^{3}$:

$$f(-x) = -x^{3} = -f(x)$$

Logo $f(-x) = -f(x)$. A função é ímpar.

Potências com −x

Calcular $f(-x)$ sempre passa por elevar $-x$ a alguma potência. O sinal do resultado depende apenas da paridade do expoente:

$$\boxed{(-x)^{\text{par}} = x^{\text{par}}} \qquad\qquad \boxed{(-x)^{\text{ímpar}} = -x^{\text{ímpar}}}$$

Expoente par

O sinal negativo desaparece:

$$(-x)^{2} = x^{2}$$ $$(-x)^{4} = x^{4}$$

Expoente ímpar

O sinal negativo permanece:

$$(-x)^{3} = -x^{3}$$ $$(-x)^{5} = -x^{5}$$

Exemplo

Considere:

$$f(x) = x^{4} - 3x^{2} + 5$$

Substituindo $x$ por $-x$, cada termo tem expoente par, então nenhum sinal muda:

$$f(-x) = (-x)^{4} - 3(-x)^{2} + 5 = x^{4} - 3x^{2} + 5$$

Logo $f(-x) = f(x)$: a função é par.

Sinais em frações

Quando $-x$ aparece elevado a um expoente ímpar no denominador, o sinal negativo pode ser movido para fora da fração. Considere:

$$f(x) = \frac{x^{2} - 3}{x^{3}}$$

Para calcular $f(-x)$, substituímos todo $x$ por $-x$:

$$f(-x) = \frac{(-x)^{2} - 3}{(-x)^{3}}$$

Aplicando as regras das potências:

$$f(-x) = \frac{x^{2} - 3}{-x^{3}}$$

O sinal negativo do denominador pode ser colocado na frente da fração:

$$f(-x) = -\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}$$

Como:

$$f(x) = \frac{x^{2} - 3}{x^{3}}$$

então:

$$f(-x) = -f(x)$$

Conclusão: a função é ímpar (o mesmo exercício resolvido acima).

Regra importante:

$$\boxed{\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}}$$

e também:

$$\boxed{-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b}}$$

Por exemplo:

$$\frac{x^{2} - 3}{-x^{3}} = -\frac{x^{2} - 3}{x^{3}} = \frac{-x^{2} + 3}{x^{3}}$$

As três formas são equivalentes; a do meio é a mais direta para comparar com $-f(x)$.

Par, ímpar ou nenhuma das duas

Depois de calcular e simplificar $f(-x)$, compare o resultado com $f(x)$ e com $-f(x)$:

Resultado	Classificação
$f(-x) = f(x)$	Par
$f(-x) = -f(x)$	Ímpar
Nenhum dos dois	Nem par nem ímpar

Exemplo

Considere:

$$f(x) = x^{2} + x$$

Calculando $f(-x)$:

$$f(-x) = (-x)^{2} + (-x) = x^{2} - x$$

Comparando com $f(x) = x^{2} + x$ e com $-f(x) = -x^{2} - x$: nenhum dos dois é igual a $f(-x) = x^{2} - x$. Logo $f$ não é par nem ímpar.

Operações com funções

Sejam $f : D_{f} \to \mathbb{R}$ e $g : D_{g} \to \mathbb{R}$ duas funções reais. Definimos a soma $f + g$, a diferença $f - g$, o produto $f \cdot g$ e o quociente $f / g$ da seguinte forma:

$$\begin{aligned} (f + g)(x) &= f(x) + g(x), & D_{f+g} &= D_{f} \cap D_{g} \\ (f - g)(x) &= f(x) - g(x), & D_{f-g} &= D_{f} \cap D_{g} \\ (f \cdot g)(x) &= f(x) \cdot g(x), & D_{f \cdot g} &= D_{f} \cap D_{g} \\ (f / g)(x) &= f(x) / g(x), & D_{f/g} &= \{x \in D_{f} \cap D_{g} / g(x) \ne 0\} \end{aligned}$$

Considere, nos quatro exemplos abaixo, $f(x) = x + 2$ e $g(x) = x^{2} - 1$, ambas com domínio $\mathbb{R}$.

Soma

$$\boxed{(f + g)(x) = f(x) + g(x)}$$

Substituindo:

$$(f + g)(x) = (x + 2) + (x^{2} - 1)$$

Organizando:

$$\boxed{(f + g)(x) = x^{2} + x + 1}$$

Subtração

$$\boxed{(f - g)(x) = f(x) - g(x)}$$

Substituindo:

$$(f - g)(x) = (x + 2) - (x^{2} - 1)$$

O sinal de menos deve ser distribuído em todo $g(x)$:

$$(f - g)(x) = x + 2 - x^{2} + 1$$ $$\boxed{(f - g)(x) = -x^{2} + x + 3}$$

Multiplicação

$$\boxed{(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)}$$ $$(f \cdot g)(x) = (x + 2)(x^{2} - 1)$$

Distribuindo:

$$(f \cdot g)(x) = x^{3} - x + 2x^{2} - 2$$

Organizando:

$$\boxed{(f \cdot g)(x) = x^{3} + 2x^{2} - x - 2}$$

Divisão

$$\boxed{\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$$ $$\boxed{\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 1}}$$

Domínio nas operações

Nas operações de soma, subtração e multiplicação, usamos os valores que pertencem aos dois domínios:

$$\boxed{D = D_{f} \cap D_{g}}$$

O símbolo $\cap$ significa interseção, ou seja, os valores que os dois domínios têm em comum. Por exemplo, se $D_{f} = \mathbb{R} - \{0\}$ e $D_{g} = \mathbb{R}$, então $D_{f} \cap D_{g} = \mathbb{R} - \{0\}$: o único valor excluído é o que já era excluído em $D_{f}$.

Domínio do quociente

No quociente existe uma regra adicional:

$$\boxed{g(x) \ne 0}$$

Portanto:

$$\boxed{D_{f/g} = \{x \in D_{f} \cap D_{g} \mid g(x) \ne 0\}}$$

Considere $f(x) = \dfrac{1}{x}$ e $g(x) = x - 2$. Primeiro, $D_{f} = \mathbb{R} - \{0\}$ e $D_{g} = \mathbb{R}$. Para o quociente:

$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1/x}{x - 2}$$

Precisamos excluir:

• $x = 0$, porque $f$ não existe;
• $x = 2$, porque $g(2) = 0$.

Assim:

$$\boxed{D = \mathbb{R} - \{0, 2\}}$$

Já no exemplo com $f(x) = x + 2$ e $g(x) = x^{2} - 1$ (acima): como $x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1)$, temos $g(x) = 0$ para $x = 1$ e $x = -1$, então:

$$D_{f/g} = \mathbb{R} - \{-1, 1\}$$