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Relações

2 min de leitura

Se ouvimos que duas pessoas se relacionam, entendemos que existe algum laço afetivo entre elas que as distingue dos demais pares ordenados de pessoas.

O análogo matemático é distinguir determinados pares ordenados de objetos dos demais porque seus elementos satisfazem alguma relação que os componentes dos demais pares, em geral, não satisfazem.

Exemplo

Sejam $S = \{1, 2\}$ e $T = \{2, 3\}$ . Então temos $S \times T = \{(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)\}$ . Assim, se estivermos interessados na relação de igualdade, então $(2,2)$ será o único par que a satisfaz no produto $S \times T$ .

Se estivermos interessados na propriedade do primeiro número menor que o segundo, teremos os pares $(1,2)$ , $(1,3)$ e $(2,3)$ .

Relação binária

Sejam $S = \{1, 2\}$ e $T = \{2, 3, 4\}$ . Uma relação $p$ no conjunto $S \times T = \{(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4)\}$ pode ser definida por $x\,p\,y$ se e somente se $x = \tfrac{1}{2} y$ . Assim, somente os pares $(1,2)$ e $(2,4)$ satisfazem $p$ .

Observação

Essas relações são chamadas de relação binária: uma relação binária dada em $S \times T$ é um subconjunto de $S \times T$ . Em símbolos: $x\,p\,y \Leftrightarrow (x, y) \in p$ .

Exercício proposto

Sejam $S = \{1, 2\}$ e $T = \{2, 3, 4\}$ . Seja $p$ dada pela descrição $x\,p\,y \Leftrightarrow x + y$ for ímpar. Determine os pares $(x, y) \in p$ .

Resposta

S \times T = \{(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4)\}

Exercício proposto

Para cada relação binária $p$ em $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ , determine quais dos pares ordenados pertencem a $p$ .

a) $x\,p\,y \Leftrightarrow x = y + 1$ : $(2,2)$ , $(3,3)$ , $(2,3)$ , $(3,2)$

b) $x\,p\,y \Leftrightarrow x$ divide $y$ : $(2,4)$ , $(2,6)$ , $(2,5)$

c) $x\,p\,y \Leftrightarrow x$ é ímpar: $(2,3)$ , $(4,5)$ , $(3,4)$ , $(5,6)$

d) $x\,p\,y \Leftrightarrow x > y^{2}$ : $(1,2)$ , $(6,4)$ , $(2,1)$ , $(4,3)$ , $(5,2)$

Resposta

(3,2)

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Se ouvimos que duas pessoas se relacionam, entendemos que existe algum laço afetivo entre elas que as distingue dos demais pares ordenados de pessoas.

Exemplo

Se estivermos interessados na propriedade do primeiro número menor que o segundo, teremos os pares $(1,2)$ , $(1,3)$ e $(2,3)$ .

Relação binária

Observação

Essas relações são chamadas de relação binária: uma relação binária dada em $S \times T$ é um subconjunto de $S \times T$ . Em símbolos: $x\,p\,y \Leftrightarrow (x, y) \in p$ .

Exercício proposto

Sejam $S = \{1, 2\}$ e $T = \{2, 3, 4\}$ . Seja $p$ dada pela descrição $x\,p\,y \Leftrightarrow x + y$ for ímpar. Determine os pares $(x, y) \in p$ .

Resposta

S \times T = \{(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4)\}

Exercício proposto

Para cada relação binária $p$ em $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ , determine quais dos pares ordenados pertencem a $p$ .

a) $x\,p\,y \Leftrightarrow x = y + 1$ : $(2,2)$ , $(3,3)$ , $(2,3)$ , $(3,2)$

b) $x\,p\,y \Leftrightarrow x$ divide $y$ : $(2,4)$ , $(2,6)$ , $(2,5)$

c) $x\,p\,y \Leftrightarrow x$ é ímpar: $(2,3)$ , $(4,5)$ , $(3,4)$ , $(5,6)$

d) $x\,p\,y \Leftrightarrow x > y^{2}$ : $(1,2)$ , $(6,4)$ , $(2,1)$ , $(4,3)$ , $(5,2)$

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