Para os exemplos abaixo, considere A={1,2,3,4} e B={3,4,5,6}.
União (∪)
Sejam A e B conjuntos. A união A∪B é dada por:
A∪B={x/x∈A ou x∈B}
O "ou" aqui é inclusivo: um elemento entra na união se está em A, em B, ou
em ambos. Note que elementos repetidos (como 3 e 4, que aparecem nos dois
conjuntos) entram uma única vez, pois um conjunto não tem elementos
duplicados.
A∪B={1,2,3,4,5,6}
Interseção (∩)
A∩B={x/x∈A e x∈B}
A interseção guarda só o que é comum aos dois conjuntos.
A∩B={3,4}
Diferença de dois conjuntos (−)
A−B é o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B:
A−B={x/x∈A e x∈/B}
Diferente da união e da interseção, a diferença não é comutativa: em
geral A−B=B−A, porque cada uma "remove" de um conjunto diferente.
A−B={1,2}B−A={5,6}
Diagrama de Venn
Para ilustrar definições, resultados e demonstrações da teoria dos conjuntos, é
muito comum usar uma representação gráfica por curvas fechadas simples tais como
círculos, ovais ou polígonos. Tal representação tem o nome de diagrama de
Venn.
Calculadora de conjuntos
Operação
Resultado — A ∪ B
{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Exercício proposto
Em uma clínica todos os cachorros foram vacinados: 15% contra a doença B, 13%
contra a doença C, 12% contra a doença A, 7% contra A e B, 3% contra B e C, 8%
contra A e C. Sabendo que 43% foram vacinados contra as doenças A, B e C, então
determine a porcentagem contra as doenças A, B e C ao mesmo tempo.
Resposta
Chamando de x a porcentagem no centro (A, B e C), o somatório de todas as
regiões do diagrama de Venn é 100%.
Resolvendo, obtemos x+90=100⇒x=10%.
Exercício proposto
Sejam A e B conjuntos não vazios, com A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8},
A∩B={3,4,8} e A={1,2,3,4,8}. Determine B.
Resposta
B={3,4,5,6,7,8}.
Complementar de um conjunto
Seja A um subconjunto de B (A⊆B). O complementar de A em
relação a B, representado por ∁AB, é o conjunto de todos os
elementos de B que não pertencem a A:
∁AB=B−A={x/x∈B e x∈/A}
O complementar só faz sentido em relação a um "universo" B: ele responde
"o que falta em B para completar A?". Por exemplo, se B={1,2,3,4,5}
e A={1,3}⊆B, então
∁AB={2,4,5}
Exercício proposto
Em uma clínica todos os cães foram vacinados contra duas doenças A e B. Sabe-se
que 77% deles contra a doença A e 82% contra a doença B. Qual a porcentagem de
cães vacinados contra as duas doenças?
Resposta
Sendo x a interseção, temos (77−x)+x+(82−x)=100, ou seja
159−x=100⇒x=59%.
Algumas propriedades
I.A∩B=B∩A
II.A∪B=B∪A
III.A∪∅=A e A∩∅=∅
IV.(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
V. Se A∩B=∅, então A e B são disjuntos (definição).
VI. Se A⊆B, então A∪B=B.
Para provar que A∪B=B, mostramos as duas inclusões:
A∪B⊆B e B⊆A∪B.
Demonstração de VI: se A ⊆ B, então A ∪ B = B
1 / 3
1
A ∪ B ⊆ B
Vamos mostrar que A∪B⊆B. Por hipótese,
(∀x)x∈A⇒x∈B. Assim
x∈A∪B⇒x∈A ou x∈B; como
x∈A⇒x∈B, então x∈B. Logo A∪B⊆B.
VII.A−A=∅
Exercício proposto
Mostre que A−A=∅.
Resposta
Por definição,
A−A={x/x∈A e x∈/A}
Como nenhum x satisfaz simultaneamente x∈A e x∈/A, não há
elemento nessa condição, ou seja,
A−A⊆∅
Por outro lado, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, logo
∅⊆A−A
Como A−A⊆∅ e ∅⊆A−A, então
A−A=∅■
VIII.(A∩B)⊆A e A⊆(A∪B)
Exercício proposto
Mostre que (A∩B)⊆A e que A⊆(A∪B).
Resposta
Mostrando (A∩B)⊆A:
(∀x)x∈(A∩B)⇒x∈A e x∈B
Em particular x∈A. Logo
(A∩B)⊆A
Mostrando A⊆(A∪B):
(∀x)x∈A⇒x∈A ou x∈B
Ou seja, x∈(A∪B). Logo
A⊆(A∪B)■
IX. Se A⊆B e C⊆D, então (A∪C)⊆(B∪D)
Exercício proposto
Sejam A, B, C e D conjuntos com A⊆B e C⊆D.
Mostre que (A∪C)⊆(B∪D).
Resposta
Por hipótese,
A⊆B⇒(∀x)x∈A⇒x∈BC⊆D⇒(∀y)y∈C⇒y∈D
Seja m∈(A∪C), então m∈A ou m∈C.
No primeiro caso m∈B; no segundo caso, m∈D. Em ambos os casos,
m∈(B∪D)
Logo
(A∪C)⊆(B∪D)■
Exercício proposto
Sejam A={x∈R/0≤x≤5} e
B={x∈R/3≤x≤7}. Determine A−B e B−A.
Resposta
A−B mantém os elementos de A que não estão em B, isto é, os valores
menores que 3:
A−B=[0,3)={x∈R/0≤x<3}
B−A mantém os elementos de B que não estão em A, isto é, os valores
maiores que 5:
B−A=(5,7]={x∈R/5<x≤7}
Vídeos
Distributiva da união em relação à interseção — demonstração (Profmat MA11)