Determinantes

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada, usado, entre outras coisas, para verificar se uma matriz possui inversa e para resolver sistemas lineares.

Determinante de uma matriz 2×2

Para $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, o determinante é dado pela diferença entre o produto da diagonal principal e o produto da diagonal secundária:

$$\det(A) = a \cdot d - b \cdot c$$

Determinante de uma matriz 3×3 (regra de Sarrus)

Repetem-se as duas primeiras colunas à direita da matriz. O determinante é a soma dos produtos das três diagonais "descendo" (esquerda para direita) menos a soma dos produtos das três diagonais "subindo" (direita para esquerda).

Regra de Cramer

A regra de Cramer resolve um sistema linear de $n$ equações e $n$ incógnitas usando determinantes. Considere o sistema com incógnitas $a$, $b$, $c$, com coeficientes $p_{i}$, $q_{i}$, $r_{i}$ e termos independentes $k_{i}$:

$$\begin{cases} p_{1} a + q_{1} b + r_{1} c = k_{1} \\ p_{2} a + q_{2} b + r_{2} c = k_{2} \\ p_{3} a + q_{3} b + r_{3} c = k_{3} \end{cases}$$

Primeiro monta-se $D$, o determinante da matriz dos coeficientes (uma coluna para cada incógnita, na ordem em que aparecem no sistema):

$$D = \begin{vmatrix} p_{1} & q_{1} & r_{1} \\ p_{2} & q_{2} & r_{2} \\ p_{3} & q_{3} & r_{3} \end{vmatrix}$$

Depois, para cada incógnita, monta-se um novo determinante substituindo só a coluna daquela incógnita pela coluna dos termos independentes $(k_{1}, k_{2}, k_{3})$, mantendo as demais colunas iguais às de $D$:

$$D_{a} = \begin{vmatrix} k_{1} & q_{1} & r_{1} \\ k_{2} & q_{2} & r_{2} \\ k_{3} & q_{3} & r_{3} \end{vmatrix} \qquad D_{b} = \begin{vmatrix} p_{1} & k_{1} & r_{1} \\ p_{2} & k_{2} & r_{2} \\ p_{3} & k_{3} & r_{3} \end{vmatrix} \qquad D_{c} = \begin{vmatrix} p_{1} & q_{1} & k_{1} \\ p_{2} & q_{2} & k_{2} \\ p_{3} & q_{3} & k_{3} \end{vmatrix}$$

Cada determinante ($D$, $D_{a}$, $D_{b}$, $D_{c}$) é calculado normalmente pela regra de Sarrus. O valor de cada incógnita é a razão entre o determinante com a coluna substituída e $D$:

$$a = \frac{D_{a}}{D} \qquad b = \frac{D_{b}}{D} \qquad c = \frac{D_{c}}{D}$$