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Função injetora

1 min de leituraPré-requisitos:Funções

Uma função $f : A \to B$ é uma função injetora (ou injetiva) se, e somente se, nenhum elemento de $B$ é imagem de dois elementos distintos de $A$ , isto é:

f \text{ é injetora} \Leftrightarrow \forall x, y \in A,\ x \ne y \Leftrightarrow f(x) \ne f(y)

Isso é equivalente a:

\forall x, y \in A,\ f(x) = f(y) \Rightarrow x = y

Em palavras: elementos diferentes do domínio nunca "colidem" no mesmo valor de saída. Cada elemento da imagem tem exatamente uma pré-imagem (diferente da sobrejetora, que fala sobre o contradomínio inteiro estar coberto — injetora fala sobre não haver colisões).

Como provar ou refutar

Para provar que $f$ é injetora, a forma mais comum é partir de $f(x) = f(y)$ como hipótese e, usando álgebra, chegar em $x = y$ — é a segunda forma da definição acima, e a estratégia usada em todos os exercícios "é injetora" abaixo.

Para refutar: basta um contraexemplo — dois valores $x \ne y$ no domínio com $f(x) = f(y)$ . Funções com potências pares (como $x^2$ ) costumam falhar porque $f(-x) = f(x)$ .

Exercícios

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x + 1$ é injetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^{2} - 4$ não é injetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^{3}$ é injetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x - 5$ é injetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x^{2} - 7$ não é injetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

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Função injetora

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Uma função $f : A \to B$ é uma função injetora (ou injetiva) se, e somente se, nenhum elemento de $B$ é imagem de dois elementos distintos de $A$ , isto é:

f \text{ é injetora} \Leftrightarrow \forall x, y \in A,\ x \ne y \Leftrightarrow f(x) \ne f(y)

Isso é equivalente a:

\forall x, y \in A,\ f(x) = f(y) \Rightarrow x = y

Como provar ou refutar

Para refutar: basta um contraexemplo — dois valores $x \ne y$ no domínio com $f(x) = f(y)$ . Funções com potências pares (como $x^2$ ) costumam falhar porque $f(-x) = f(x)$ .

Exercícios

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x + 1$ é injetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^{2} - 4$ não é injetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^{3}$ é injetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x - 5$ é injetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

Exercício proposto

Mostre que a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x^{2} - 7$ não é injetora.

Resposta

(\forall x) \in \mathbb{R}

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