Função polinomial

Diz-se que $p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ é uma função polinomial se existir um inteiro $n \ge 0$ e existirem números reais $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ tais que, $\forall x \in \mathbb{R}$, tem-se que:

$$p(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0}, \quad \text{com } a_{n} \ne 0$$

Dizemos que $p$ tem grau $n$. Se $p(\alpha) = 0$, então dizemos que $\alpha$ é uma raiz de $p$.

Exemplos

1. $p(x) = x^{3} - 2x + 1$   (grau $3$)
2. $p(x) = x^{7} - \sqrt{2x - 9}$   (grau $7$)

Raiz de um polinômio

$$\boxed{p(\alpha) = 0 \iff \alpha \text{ é raiz de } p}$$

Ou seja, para verificar se um número é raiz, basta calcular $p$ nesse número e conferir se o resultado é $0$.

Exemplo

Considere:

$$p(x) = x^{2} - 5x + 6$$

Testando $x = 2$:

$$p(2) = 2^{2} - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$

Como $p(2) = 0$, $2$ é raiz de $p$.

O algoritmo da divisão de Euclides

Dadas duas funções polinomiais $p$ e $d$, com $d$ não nula, existem únicas funções polinomiais $q$ e $r$ tais que:

$$\boxed{p(x) = q(x) \cdot d(x) + r(x)}, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

com $p$ o dividendo, $d$ o divisor, $q$ o quociente e $r$ o resto.

Exemplos:

1. $x^{4} - 3x^{3} - 1 = (x^{3} + x - 3)(x^{2} - x + 1) + (-3x + 2)$
2. $x^{4} - 3x^{3} + 2x^{2} - 2 = (x^{3} - 4x^{2} + 6x - 6)(x + 1) + 4$

Teorema do resto e teorema do fator

Quando dividimos $p(x)$ por $(x - a)$, o divisor tem grau $1$, então o resto $r(x)$ tem grau $0$, ou seja, é uma constante $r$.

Exemplo

Considere:

$$p(x) = x^{3} - 2x + 5$$

Para encontrar o resto da divisão de $p(x)$ por $(x - 2)$, não é preciso fazer a divisão completa: basta calcular $p(2)$.

$$p(2) = 2^{3} - 2(2) + 5 = 8 - 4 + 5 = 9$$

Logo o resto é $9$.

Uma consequência imediata: como $\alpha$ é raiz de $p$ quando $p(\alpha) = 0$, o teorema do fator diz que

$$p(\alpha) = 0 \Longleftrightarrow (x - \alpha) \text{ divide } p(x) \text{ exatamente (resto } 0\text{)}$$

É por isso que, para achar raízes de um polinômio, procuramos valores $a$ para os quais a divisão por $(x - a)$ tem resto $0$: cada um desses $a$ é uma raiz.

Como dividir na prática: dispositivo de Briot-Ruffini

Quando o divisor é $(x - a)$, não precisamos fazer a divisão longa completa: o dispositivo de Briot-Ruffini calcula quociente e resto usando só os coeficientes de $p$.

Como encontrar as raízes de um polinômio

Juntando o teorema do fator com o dispositivo de Briot-Ruffini, o processo geralmente segue estes passos:

1. Escolha um valor $a$ para testar. Se procuramos raízes inteiras, uma boa lista de candidatos são os divisores do termo independente $a_{0}$.
2. Calcule $p(a)$. Se $p(a) = 0$, então $a$ é raiz (e $(x - a)$ é fator).
3. Use Briot-Ruffini para dividir $p(x)$ por $(x - a)$ e obter um polinômio de grau menor.
4. Repita o processo no polinômio obtido, até restar um polinômio de grau $2$ (que pode ser resolvido com a fórmula de Bhaskara) ou grau $1$.

$$\boxed{\text{testar } a \;\rightarrow\; p(a) = 0 \;\rightarrow\; (x - a) \text{ é fator}}$$ $$\boxed{\rightarrow\; \text{Briot-Ruffini} \;\rightarrow\; \text{novo polinômio}}$$

Exemplo

Considere:

$$p(x) = x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6$$

Os divisores do termo independente $-6$ são $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$: são os candidatos a raiz inteira. Testando $x = 1$:

$$p(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$$

Logo $1$ é raiz, e pelo teorema do fator, $(x - 1)$ é fator de $p(x)$. Usando Briot-Ruffini para dividir $p(x)$ por $(x - 1)$ (coeficientes $1, -6, 11, -6$):

$$1 \times 1 = 1, \quad -6 + 1 = -5$$ $$-5 \times 1 = -5, \quad 11 + (-5) = 6$$ $$6 \times 1 = 6, \quad -6 + 6 = 0$$

O quociente é $x^{2} - 5x + 6$ e o resto é $0$. Fatorando o quociente ($\Delta = 25 - 24 = 1$, $x = \frac{5 \pm 1}{2}$):

$$x^{2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

Logo:

$$p(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$$ $$\boxed{x = 1, \quad x = 2, \quad x = 3}$$

Exercícios