Função polinomial

Diz-se que $p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ é uma função polinomial se existir um inteiro $n \ge 0$ e existirem números reais $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ tais que, $\forall x \in \mathbb{R}$, tem-se que:

$$p(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0}, \quad \text{com } a_{n} \ne 0$$

Dizemos que $p$ tem grau $n$. Se $p(\alpha) = 0$, então dizemos que $\alpha$ é uma raiz de $p$.

Exemplos

1. $p(x) = x^{3} - 2x + 1$   (grau $3$)
2. $p(x) = x^{7} - \sqrt{2x - 9}$   (grau $7$)

O algoritmo da divisão de Euclides

Dadas duas funções polinomiais $p$ e $d$, com $d$ não nula, existem únicas funções polinomiais $q$ e $r$ tais que:

$$p(x) = q(x) \cdot d(x) + r(x), \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Exemplos:

1. $x^{4} - 3x^{3} - 1 = (x^{3} + x - 3)(x^{2} - x + 1) + (-3x + 2)$
2. $x^{4} - 3x^{3} + 2x^{2} - 2 = (x^{3} - 4x^{2} + 6x - 6)(x + 1) + 4$

Teorema do resto e teorema do fator

Quando dividimos $p(x)$ por $(x - a)$, o divisor tem grau $1$, então o resto $r(x)$ tem grau $0$, ou seja, é uma constante $r$.

Uma consequência imediata: como $\alpha$ é raiz de $p$ quando $p(\alpha) = 0$, o teorema do fator diz que

$$p(\alpha) = 0 \Longleftrightarrow (x - \alpha) \text{ divide } p(x) \text{ exatamente (resto } 0\text{)}$$

É por isso que, para achar raízes de um polinômio, procuramos valores $a$ para os quais a divisão por $(x - a)$ tem resto $0$: cada um desses $a$ é uma raiz.

Como dividir na prática: dispositivo de Briot-Ruffini

Quando o divisor é $(x - a)$, não precisamos fazer a divisão longa completa — o dispositivo de Briot-Ruffini calcula quociente e resto usando só os coeficientes de $p$.

Exercícios