Propriedades das relações

$(\forall x)(x \in \mathbb{N})$ temos que $x \le x$. Logo $x\,p\,x$, ou seja $(x, x) \in p$. Logo é reflexiva. $\blacksquare$

$(\forall x)(\forall y)(x, y \in \mathbb{N} \text{ e } (x, y) \in p)$, com $(x, y) \in p \Rightarrow x < y$. Logo $y \not< x$; somente se $x = y$, o que seria anti-simétrica. $\blacksquare$

$(\forall x)(\forall y)(\forall z)(x, y, z \in \mathbb{N} \text{ e } (x, y) \in p \text{ e } (y, z) \in p)$. Como $(x, y) \in p$ e $(y, z) \in p$, então $x \le y$ e $y \le z$. Assim $x \le y \le z$. Logo $x \le z$, ou seja $x\,p\,z$, isto é $(x, z) \in p$. $\blacksquare$

$(\forall x)(\forall y)(x, y \in \mathbb{N} \text{ e } (x, y) \in p)$. Logo se $(x, y) \in p$, então $x + y = 2k$, com $k \in \mathbb{Z}$. Como a ordem dos fatores não altera a soma, logo $y + x = 2k$, ou seja $y\,p\,x$. Assim $(y, x) \in p$. $\blacksquare$

$(\forall x)(\forall y)(\forall z)(x, y, z \in \mathbb{N} \text{ e } (x, y) \in p \text{ e } (y, z) \in p)$. Então $x + y = 2k$, com $k \in \mathbb{Z}$, e $y + z = 2m$, com $m \in \mathbb{Z}$. Então:

Assim $x\,p\,z$, isto é $(x, z) \in p$. $\blacksquare$

$(\forall x)(\forall y)(\forall z)(x, y, z \in \mathbb{N} \text{ e } (x, y) \in p \text{ e } (y, z) \in p)$. Como $(x, y) \in p \Rightarrow x < y$ e $(y, z) \in p \Rightarrow y < z$, a transitividade da ordem em $\mathbb{N}$ dá diretamente $x < z$. Logo $x\,p\,z$, ou seja $(x, z) \in p$. $\blacksquare$

$(\forall x)(x \in \mathbb{N} \Rightarrow (x, x) \in p)$. Como $x\,p\,y \Leftrightarrow x$ divide $y$, então $k = y/x$, com $k \in \mathbb{N}$, ou seja $y = k \cdot x$. Logo $x = k \cdot x \Rightarrow x/x = k \Rightarrow k = 1 \in \mathbb{N}$. Assim $(x, x) \in p$. Logo $p$ é reflexiva. $\blacksquare$

$(\forall x, y)(x, y \in \mathbb{N},\ (x, y) \in p \Rightarrow (y, x) \in p)$. Temos que se $(x, y) \in p \Rightarrow x \mid y$, mas em geral $y \nmid x$. Logo $p$ não é simétrica. $\blacksquare$

$(\forall x, y)(x, y \in \mathbb{N},\ (x, y) \in p \Rightarrow (y, x) \in p)$. Temos $x\,p\,y \Rightarrow x = y^{2}$. Assim $y = \sqrt{x}$; logo $y$ não se relaciona com $x$. Logo $p$ não é simétrica. $\blacksquare$