Demonstração direta

Hipótese: $x = 2k$ e $y = 2m + 1$, com $k, m \in \mathbb{Z}$.

$x \cdot y = (2k)(2m + 1) = 4km + 2k = 2(2km + k)$. Logo $x \cdot y$ é múltiplo de $2$, ou seja, é par. $\blacksquare$

Hipótese: $x = 6k$, com $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = 2(6k) = 12k = 4(3k)$. Logo $2x$ é múltiplo de $4$, ou seja, é divisível por $4$. $\blacksquare$

Hipótese: $x = 2k$ e $y = 2m$, com $k, m \in \mathbb{Z}$.

$x \cdot y = (2k)(2m) = 4km = 2(2km)$. Logo $x \cdot y$ é par. $\blacksquare$

Hipótese: $x = 2k + 1$ e $y = 2m + 1$, com $k, m \in \mathbb{Z}$.

$x \cdot y = (2k + 1)(2m + 1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km + k + m) + 1$. Logo $x \cdot y$ é ímpar. $\blacksquare$

Hipótese: $x = 2k + 1$ e $y = 2m + 1$, com $k, m \in \mathbb{Z}$.

$x + y = (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1)$. Logo $x + y$ é múltiplo de $2$, ou seja, é par. $\blacksquare$

Se $m$ é par: $m = 2k$, $k \in \mathbb{Z}$.

que é ímpar.

Se $m$ é ímpar: $m = 2k + 1$, $k \in \mathbb{Z}$.

que é ímpar.

Logo, seja $m$ par ou ímpar, $5m^{2} + 3m + 7$ é sempre ímpar. $\blacksquare$