Demonstração por indução

I) Se $n=1 \Rightarrow 2(1)-1 = 1^{2} \Rightarrow 1=1$. A equação é verdadeira para $n=1$ (passo básico).

II) Vamos supor, por indução, que a equação seja verdadeira para algum inteiro $k$. Assim,

III) Vamos demonstrar que $P(k) \Rightarrow P(k+1)$. Assim,

I) Se $n=1 \Rightarrow 1 = \dfrac{1(1+1)}{2} \Rightarrow 1=1$. Verdadeiro (passo básico).

II) Vamos supor, por indução, que a equação seja verdadeira para algum inteiro $k$. Assim,

III) Vamos demonstrar que $P(k) \Rightarrow P(k+1)$. Assim,

I) Se $n=1 \Rightarrow 1+2 = 2^{2}-1 \Rightarrow 3 = 3$. Verdadeiro (passo básico).

II) Vamos supor, por indução, que a equação seja verdadeira para algum inteiro $k > 1$. Assim,

III) Vamos demonstrar que $P(k) \Rightarrow P(k+1)$. Assim,

I) Se $n=1 \Rightarrow 2^{2(1)}-1 = 3m$, com $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow 4-1=3 \Rightarrow 3=3$. Verdadeiro (passo básico).

II) Vamos supor, por indução, que a equação é válida para algum inteiro positivo $k$. Assim,

III) Vamos demonstrar que $P(k) \Rightarrow P(k+1)$. Assim,

I) Se $n=1 \Rightarrow F(5) = 3F(3)-F(1) \Rightarrow 5 = 3(2)-1 \Rightarrow 5=5$. Verdadeiro (passo básico).

II) Vamos supor, por indução, que a equação seja verdadeira para algum inteiro positivo $k$. Assim,

III) Vamos demonstrar que $P(k) \Rightarrow P(k+1)$, ou seja, que $F(k+5) = 3F(k+3)-F(k+1)$. Assim,

Como $F(k+2) = F(k)+F(k+1) \Rightarrow -F(k) = F(k+1)-F(k+2)$:

Como $F(k+3) = F(k+2)+F(k+1) \Rightarrow F(k+2) = F(k+3)-F(k+1)$: