Prova 1 — Matrizes e conjuntos

a) $A$ é $2 \times 2$, então precisamos calcular $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$ substituindo $i$ e $j$ em $a_{ij} = 3i - 2j + 4$:

Logo:

b) Em $A \times B$, cada posição $(i,j)$ do resultado é o produto da linha $i$ de $A$ pela coluna $j$ de $B$, somando os termos:

c) Em $B \times A$ o processo é o mesmo, mas agora linha de $B$ por coluna de $A$ — repare que o resultado é diferente do item anterior, pois a multiplicação de matrizes não é comutativa:

d) Primeiro invertemos o sinal de $A$ e multiplicamos $B$ por $2$, depois somamos termo a termo:

a) Em $C \wedge B$ (E lógico, elemento a elemento), cada posição só é $1$ se os dois termos forem $1$:

Em seguida, $(C \wedge B) \vee A$ (OU lógico, elemento a elemento) — cada posição é $1$ se pelo menos um dos termos for $1$:

b) Na multiplicação booleana, cada posição $(i,j)$ é o OU dos E entre linha de $A$ e coluna de $B$: $\bigvee_k (a_{ik} \wedge b_{kj})$. Por exemplo, na posição $(1,1)$: $(1\wedge0)\vee(1\wedge1)\vee(1\wedge0)=1$. Repetindo para todas as posições:

$A$ é simétrica quando $A = A^{T}$, ou seja, quando $a_{ij} = a_{ji}$ para todo par $(i,j)$. Isso gera uma equação por par de posições espelhadas.

Posições $(1,2)$ e $(2,1)$:

Logo $a = 2$ ou $a = -1$.

Posições $(1,3)$ e $(3,1)$:

Verdadeiro para qualquer $a$ — essa posição não restringe a solução.

Posições $(2,3)$ e $(3,2)$:

O único valor que satisfaz todas as posições ao mesmo tempo é $a=2$ (o valor $a=-1$ resolve a primeira equação, mas não a terceira).

Primeiro calculamos $A^{2}$:

Depois escrevemos $a \cdot A + b \cdot I$ em função de $a$ e $b$. Multiplicamos cada matriz pelo seu escalar, termo a termo:

Somando as duas, termo a termo:

Igualando $A^{2}$ a $a \cdot A + b \cdot I$, posição por posição:

Cada posição vira uma equação:

• Posição $(1,1)$: $a+b=1$
• Posição $(1,2)$: $2a=4$
• Posição $(2,1)$: $0=0$ — sempre verdade, não ajuda
• Posição $(2,2)$: $a+b=1$ — repete a posição $(1,1)$

Sobram só duas equações independentes, $a+b=1$ e $2a=4$, que formam o sistema:

Resolvendo o sistema:

Substituindo $a=2$ na primeira equação:

Como $a=2 \in \mathbb{Z}$ e $b=-1 \in \mathbb{Z}$, fica mostrado que $a$ e $b$ são inteiros.

A relação $b_{ij} = a_{ji}$ diz que $B$ é a transposta de $A$: $B = A^{T}$. Uma matriz $5 \times 3$ transposta vira $3 \times 5$ — por isso $B$ tem $3$ linhas e $5$ colunas.

Transpondo, as linhas de $A$ viram colunas de $B$:

A 1ª coluna de $A$ é $(0,0,0,0,0)$ → vira a 1ª linha de $B$. A 2ª coluna de $A$ é $(0,1,0,1,1)$ → vira a 2ª linha de $B$. A 3ª coluna de $A$ é $(0,1,1,1,1)$ → vira a 3ª linha de $B$.

Traduzindo de volta para pixels ($0$ = preto, $1$ = branco): a primeira linha de $B$ é toda preta; a segunda alterna preto/branco/preto/branco/ branco; a terceira é preta só na primeira coluna e branca no resto.