Matrizes

Uma matriz é uma forma de representação organizada em linhas e colunas. Denotamos um elemento por $a_{ij}$ (ou $a_{i \times j}$), onde $i$ indica a linha e $j$ indica a coluna. A letra maiúscula é o nome da matriz.

$$A = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}_{2 \times 3}$$

Na matriz genérica

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}_{2 \times 3}$$

temos, no exemplo acima, $a_{12} = 2$ e $a_{23} = 1$.

Construção de uma matriz

Construa a matriz $(a_{ij})_{5 \times 2}$ onde $a_{ij} = 2^{i} - j$.

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ a_{41} & a_{42} \\ a_{51} & a_{52} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \\ 7 & 6 \\ 15 & 14 \\ 31 & 30 \end{bmatrix}$$

Por exemplo, $a_{31} = 2^{3} - 1 = 7$ e $a_{42} = 2^{4} - 2 = 14$.

Igualdade de matrizes

Duas matrizes são iguais quando têm o mesmo número de linhas e colunas e os elementos correspondentes são iguais.

Tipos de matrizes

Nula

Todos os elementos são iguais a $0$.

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{2 \times 3}$$

Linha

Sempre vai ter apenas $1$ linha.

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}_{1 \times 3}$$

Coluna

Sempre vai ter apenas $1$ coluna.

$$A = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}_{3 \times 1}$$

Transposta

Inverte-se linha por coluna.

$$A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}_{3 \times 2} \qquad A^{T} = \begin{bmatrix} -1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}_{2 \times 3}$$

Quadrada

Possui o número de linhas igual ao número de colunas.

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}_{3 \times 3}$$

Identidade

Todos os elementos da diagonal principal são iguais a $1$ e os demais são iguais a $0$. Numa matriz quadrada, a diagonal principal vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito e a diagonal secundária vai do canto superior direito ao canto inferior esquerdo.

Triangular

Os elementos acima da diagonal principal são nulos (triangular inferior), ou os elementos abaixo da diagonal principal são nulos (triangular superior).

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}_{3 \times 3}$$

Diagonal

Os elementos acima e abaixo da diagonal principal são todos nulos.

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}_{3 \times 3}$$

Matriz simétrica

Uma matriz quadrada $A$ é simétrica se, e somente se, $A = A^{T}$, ou seja, quando ela é igual à sua transposta. Isso significa que os elementos espelhados em relação à diagonal principal são iguais: $a_{ij} = a_{ji}$.