Prova 2: Funções e relações

$\forall x,y \in \mathbb{R}$, se $x > y$, então:

Assim $f(x) > f(y)$. Logo $f$ é crescente. $\blacksquare$

$\forall x,y \in \mathbb{R}^{-}$, se $x < y$, então $y-x>0$ e $y+x<0$, logo $(y-x)(y+x) < 0$, isto é:

Assim $f(y) < f(x)$, ou seja, $x < y \Rightarrow f(x) > f(y)$. Logo $f$ é decrescente em $\mathbb{R}^{-}$. $\blacksquare$

$\forall x \in \mathbb{R}^{*}$:

Assim $f(-x) = f(x)$. Logo $f$ é par. $\blacksquare$

$\forall x \in \mathbb{R}$:

Comparando: $f(-x) \ne f(x)$ (pois $x^{2}-4x \ne x^{2}+4x$ para $x \ne 0$) e $f(-x) \ne -f(x)$ (pois $x^{2}-4x \ne -x^{2}-4x$ para $x \ne 0$). Logo $f$ não é par nem ímpar; é apenas uma função. $\blacksquare$

$\forall y \in (-4,+\infty)$, procuramos $x \in (0,+\infty)$ tal que $f(x)=y$:

Como $y>-4$, temos $\tfrac{y+4}{3}>0$, logo a raiz está bem definida e $x>0$, ou seja, $x \in (0,+\infty)$. Conferindo:

Assim, para todo $y$ do contradomínio existe $x$ no domínio com $f(x)=y$. Logo $f$ é sobrejetora. $\blacksquare$

$\forall x,y \in \mathbb{R}$, suponha $f(x)=f(y)$:

Logo $f$ é injetora. $\blacksquare$

Sobrejetora: $\forall y \in \mathbb{R}$, tome $x = \sqrt[3]{y+7}$. Então $f(x) = (\sqrt[3]{y+7})^{3}-7 = (y+7)-7 = y$, logo existe $x$ para todo $y$.

Injetora: se $f(x)=f(y)$, então $x^{3}-7=y^{3}-7 \Rightarrow x^{3}=y^{3} \Rightarrow x=y$ (a raiz cúbica real é única).

Como $f$ é injetora e sobrejetora, $f$ é bijetora. $\blacksquare$

Reflexiva: $(\forall x)(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow (x,x) \in R)$. Como $x+x=2x$ é sempre par, $(x,x) \in R$. Logo $R$ é reflexiva.

Simétrica: $(\forall x)(\forall y)(x,y \in \mathbb{Z}, (x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R)$. Como $(x,y) \in R \iff x+y=2k$, $k \in \mathbb{Z}$, e $y+x=x+y=2k$, segue $(y,x) \in R$. Logo $R$ é simétrica.

Transitiva: $(\forall x)(\forall y)(\forall z)(x,y,z \in \mathbb{Z}, (x,y) \in R \text{ e } (y,z) \in R \Rightarrow (x,z) \in R)$. Como $x+y=2k$ e $y+z=2m$, com $k,m \in \mathbb{Z}$, somando: $x+2y+z = 2k+2m \Rightarrow x+z = 2(k+m-y)$, e como $k+m-y \in \mathbb{Z}$, $x+z$ é par. Logo $(x,z) \in R$ e $R$ é transitiva.

Como $R$ é reflexiva, simétrica e transitiva, $R$ é uma relação de equivalência. $\blacksquare$

Reflexiva: $(\forall x)(x \in \mathbb{Z}^{+} \Rightarrow (x,x) \in R)$. Tomando $k=1$, temos $x = 1 \cdot x$, ou seja, $x$ divide $x$ e $\operatorname{mdc}(x,x) = x$. Logo $(x,x) \in R$ e $R$ é reflexiva.

Antissimétrica: $(\forall x)(\forall y)(x,y \in \mathbb{Z}^{+}, (x,y) \in R \text{ e } (y,x) \in R \Rightarrow x = y)$. De $(x,y) \in R$ vem $y = kx$ e de $(y,x) \in R$ vem $x = my$, com $k, m \in \mathbb{Z}^{+}$. Como todos são positivos, $x \le y$ e $y \le x$, logo $x = y$. Portanto $R$ é antissimétrica.

Transitiva: $(\forall x)(\forall y)(\forall z)(x,y,z \in \mathbb{Z}^{+}, (x,y) \in R \text{ e } (y,z) \in R \Rightarrow (x,z) \in R)$. De $(x,y) \in R$ vem $y = kx$ e de $(y,z) \in R$ vem $z = my$, com $k, m \in \mathbb{Z}^{+}$. Substituindo, $z = m(kx) = (mk)x$, com $mk \in \mathbb{Z}^{+}$, ou seja, $x$ divide $z$ e $\operatorname{mdc}(x,z) = x$. Logo $(x,z) \in R$ e $R$ é transitiva.

Como $R$ é reflexiva, antissimétrica e transitiva, $R$ é uma relação de ordenação parcial. $\blacksquare$