Prova 2: Funções e relações

Passo 1. Separar os coeficientes.

Escreva os coeficientes em ordem decrescente de grau, sem pular nenhum.

Se algum termo estiver ausente, ele entra com coeficiente $0$.

Passo 2. Montar o dispositivo de Briot-Ruffini.

O divisor é $x + 2 = x - (-2)$, então a raiz usada no dispositivo é $-2$.

Regras do dispositivo:

1. A raiz $-2$ fica à esquerda.
2. Os coeficientes ficam na linha de cima.
3. O primeiro coeficiente desce sem alteração.
4. Cada número de baixo é multiplicado pela raiz e somado ao próximo coeficiente de cima.

Passo 3. Fazer as contas.

Passo 4. Ler o resultado.

O último número da linha de baixo é o resto.

O resto vale $0$, então $-2$ é raiz de $p(x)$ e a divisão é exata.

Os outros números são os coeficientes do quociente, que tem grau uma unidade menor que $p(x)$:

O quociente é exatamente o $q(x) = x^{3} - 4x^{2} - 37x + 40$ do enunciado.

Passo 5. Dividir $q(x)$ por $(x-1)$.

O enunciado diz que $1$ é raiz de $q(x)$.

Mesmo processo, agora com os coeficientes $1, -4, -37, 40$ e a raiz $1$:

O quociente é $x^{2} - 3x - 40$.

Assim, $p(x)$ fica fatorado:

Passo 6. Resolver o fator de grau 2 por Bhaskara.

Em $x^{2} - 3x - 40 = 0$, temos $a = 1$, $b = -3$ e $c = -40$.

Calculando o discriminante:

Aplicando a fórmula:

Com isso, $p(x) = (x+2)(x-1)(x-8)(x+5)$.

Passo 7. Conferir pelas relações de Girard.

Para um polinômio $ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e$:

1. A soma das raízes é $-b/a$.
2. O produto das raízes é $e/a$.

Aqui $a = 1$, $b = -2$ e $e = 80$:

Passo 1. Encontrar o domínio.

O quociente $f(x)/g(x)$ só existe onde $g(x) \ne 0$.

Resolvendo $g(x) = 2x^{2} - 4x + 5 = 0$, com $a = 2$, $b = -4$ e $c = 5$:

Como $\Delta < 0$, $g(x)$ não tem raiz real e nunca se anula.

Logo não há valor a excluir, e o domínio é $D = \mathbb{R}$.

Isso já descarta as alternativas que retiram pontos do domínio.

Passo 2. Entender o método da chave.

Cada rodada da divisão tem três etapas:

1. Dividir o termo de maior grau do dividendo atual pelo termo de maior grau de $g(x)$.
2. Multiplicar o resultado por $g(x)$.
3. Subtrair esse produto do dividendo atual.

O processo termina quando o que sobra tem grau menor que o de $g(x)$, ou seja, menor que $2$.

Passo 3. Primeira rodada.

Dividindo os termos de maior grau:

Multiplicando por $g(x)$:

Subtraindo do dividendo:

Passo 4. Segunda rodada.

O novo dividendo é $2x^{3} - 6x^{2} + 9x - 5$.

Dividindo os termos de maior grau:

Multiplicando por $g(x)$:

Subtraindo:

Passo 5. Terceira rodada.

O novo dividendo é $-2x^{2} + 4x - 5$.

Dividindo os termos de maior grau:

Multiplicando por $g(x)$:

Subtraindo:

Sobrou $0$, que tem grau menor que $2$. A divisão terminou.

Passo 6. Ler o resultado.

O quociente é a soma dos termos obtidos em cada rodada: $3x^{2}$, $x$ e $-1$.

O resto é $0$, então a divisão é exata:

Passo 7. Conferir pela multiplicação.

Divisor vezes quociente deve devolver o dividendo:

Passo 8. Concluir.

Quociente $3x^{2} + x - 1$ e domínio $D = \mathbb{R}$: alternativa b).

Fazendo $y = f(x)$ e isolando $x$:

Trocando $x$ por $f^{-1}(x)$ e $y$ por $x$:

b) Fazendo $x=1$ na identidade $f(a \cdot x) = a \cdot f(x)$, obtemos $f(a) = a \cdot f(1)$ para todo $a$ real, ou seja, $f$ é da forma $f(x) = kx$ com $k = f(1)$. Como $f(4)=2$: $4k=2 \Rightarrow k = \tfrac{1}{2}$. Logo $f(x) = \tfrac{1}{2}x$.

a) $g(5) = f(5-1)+1 = f(4)+1 = 2+1 = 3$.

c) Com $f(x)=\tfrac12 x$: $g(x) = \tfrac12(x-1)+1 = \tfrac12 x + \tfrac12$. Igualando a $11$: $\tfrac12 x + \tfrac12 = 11 \Rightarrow \tfrac12 x = 10{,}5 \Rightarrow x = 21$.

d) $f(g(x)) = \tfrac12 \cdot g(x) = \tfrac12 \left(\tfrac12 x + \tfrac12\right) = \tfrac{x+1}{4}$.

Vale observar antes que $\operatorname{mdc}(x,y) = x$ equivale a dizer que $x$ divide $y$, ou seja, $y = kx$ para algum $k \in \mathbb{Z}^{+}$. É essa leitura que torna as três verificações diretas.

a) $f(-5) = -2(-5)^{2}+3(-5)+2 = -2(25)-15+2 = -50-15+2 = -63$.

b) Resolvendo $-2x^{2}+3x+2=0$, ou seja, $2x^{2}-3x-2=0$:

Logo $x = 2$ ou $x = -\tfrac{1}{2}$.