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Provas aplicadas no semestre 2024.1, disciplina Matemática Aplicada à Computação (Instituto Federal da Paraíba, Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas, 1º período). Nesta seção --- Prova 1: Matrizes e conjuntos Avaliação 1 de Matemática Aplicada à Computação (2024.1), com resolução comentada. Avaliação 1 de Matemática Aplicada à Computação: Instituto Federal da Paraíba, curso de Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas, 1º período, semestre 2024.1, professor Suemilton Nunes Gervázio. Cobre sequências e conjuntos, demonstrações de inclusão e igualdade, operações unárias, matrizes e representação de imagens por matrizes booleanas. Tente cada questão sozinho antes de abrir a resposta.Questão 1 Judith L. Gersting, adaptada (10,0 pts)a) A = { 1, 0, 5, 22, 57, 116, 205, 330, … }b) B = { − 4, − 2, 4, 14, 28, 46, 68, … }c) C = { 2, 5 / 2, 3, 7 / 2, 4, 9 / 2, 5, 11 / 2, … }Nos três itens numeramos os termos a partir de n = 0 e procuramos o termo geral f (n). A ferramenta é a tabela de diferenças: a linha Δ traz a diferença entre cada termo e o anterior, a linha Δ 2 faz o mesmo sobre a linha Δ, e assim por diante.O grau do polinômio é o nível em que as diferenças ficam constantes, e essa constante vale k ! a, onde k é o grau e a é o coeficiente líder.a) Diferenças de A = { 1, 0, 5, 22, 57, 116, 205, 330, … }:n 0 1 2 3 4 5 6 7; f (n) 1 0 5 22 57 116 205 330; Δ − 1 5 17 35 59 89 125; Δ 2 6 12 18 24 30 36; Δ 3 6 6 6 6 6Os elementos estão listados na ordem em que n os gera (n = 0, 1, 2, …), e não em ordem crescente. A função f decresce de f (0) = 1 para f (1) = 0 e só a partir daí passa a crescer, por isso o 1 aparece antes do 0, e por isso a primeira diferença, 0 − 1, é negativa. Nos itens b) e c) isso não acontece porque lá f cresce desde n = 0.As terceiras diferenças são constantes e iguais a 6, logo o termo geral é de 3 ° grau, com coeficiente líder 6 / 3 ! = 1:f (n) = n 3 + b n 2 + cn + df (0) = d = 1f (1) = 1 + b + c + d = 0 ⇒ b + c = − 2f (2) = 8 + 4 b + 2 c + d = 5 ⇒ 4 b + 2 c = − 4 ⇒ 2 b + c = − 2Subtraindo b + c = − 2 de 2 b + c = − 2: b = 0, logo c = − 2.f (n) = n 3 − 2 n + 1Conferindo com o último termo listado: f (7) = 343 − 14 + 1 = 330 ✓b) Diferenças de B = { − 4, − 2, 4, 14, 28, 46, 68, … }:n 0 1 2 3 4 5 6; f (n) − 4 − 2 4 14 28 46 68; Δ 2 6 10 14 18 22; Δ 2 4 4 4 4 4As segundas diferenças são constantes e iguais a 4, logo o termo geral é de 2 ° grau, com coeficiente líder 4 / 2 ! = 2:f (n) = 2 n 2 + bn + cf (0) = c = − 4f (1) = 2 + b + c = − 2 ⇒ b = 0f (n) = 2 n 2 − 4c) Diferenças de C = { 2, 5 / 2, 3, 7 / 2, 4, 9 / 2, 5, 11 / 2, … }:n 0 1 2 3 4 5 6 7; f (n) 2 5 2 3 7 2 4 9 2 5 11 2; Δ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2As primeiras diferenças já são constantes e iguais a 1 2, logo o termo geral é de 1 ° grau, com coeficiente líder 1 2 / 1 ! = 1 2:f (n) = 1 2 n + bf (0) = b = 2f (n) = 1 2 n + 2B = { x ∈ ℤ / x = 2 n 2 − 4, n ∈ ℕ }C = { x ∈ ℚ / x = 1 2 n + 2, n ∈ ℕ }Questão 2 Judith L. Gersting, adaptada (10,0 pts)M ⊆ N ⟺ (∀ x) (x ∈ M ⇒ x ∈ N)da mesma forma,O ⊆ P ⟺ (∀ y) (y ∈ O ⇒ y ∈ P)Por definição, M ∩ O = { z / z ∈ M e z ∈ O }. Seja z ∈ (M ∩ O), ou seja, z ∈ M e z ∈ O. Como z ∈ M ⇒ z ∈ N e z ∈ O ⇒ z ∈ P, segue que z ∈ (N ∩ P).∴ (M ∩ O) ⊆ (N ∩ P) ■Questão 3 Judith L. Gersting, adaptada (10,0 pts)E = F ⟺ (∀ x) (x ∈ E ⟺ x ∈ F)da mesma forma,G = H ⟺ (∀ y) (y ∈ G ⟺ y ∈ H)Por definição, E ∪ G = { z / z ∈ E ou z ∈ G } e F ∪ H = { z / z ∈ F ou z ∈ H }.Primeiro, (E ∪ G) ⊆ (F ∪ H). Seja z ∈ (E ∪ G). Se z ∈ E, então z ∈ F; se z ∈ G, então z ∈ H. Em ambos os casos z ∈ (F ∪ H).Agora, (F ∪ H) ⊆ (E ∪ G). Seja w ∈ (F ∪ H). Se w ∈ F, então w ∈ E; se w ∈ H, então w ∈ G. Em ambos os casos w ∈ (E ∪ G).Como (E ∪ G) ⊆ (F ∪ H) e (F ∪ H) ⊆ (E ∪ G),∴ (E ∪ G) = (F ∪ H) ■Questão 4 Judith L. Gersting, adaptada (10,0 pts)A = { x ∈ ℕ / x = 3 m, m ∈ ℤ }B = { x ∈ ℕ / x = 6 m, m ∈ ℤ }Seja y ∈ B. Então y = 6 m = 3 (2 m) para algum m ∈ ℤ. Como 2 m ∈ ℤ, segue que y também é múltiplo de 3, ou seja, y ∈ A.(∀ y) (y ∈ B ⇒ y ∈ A) ∴ B ⊆ A ■Questão 5 Judith L. Gersting, adaptada (10,0 pts)Para # ser uma operação unária em ℤ, é preciso que, para todo x ∈ ℤ, o valor x # exista, seja único e pertença a ℤ. Basta, então, exibir um único inteiro em que alguma dessas condições falhe.Seja x = 2 ∈ ℤ. Assimx # = 2 4 ∉ ℤLogo o resultado não pertence aos inteiros, ou seja, o fechamento falha.∴ # n a ˜ o e ˊ uma opera c ¸ a ˜ o un a ˊ ria em ℤ ■A existência também falha nos inteiros negativos: para x = − 1 ∈ ℤ, o valor − 1 4 nem sequer é um número real. Questão 6 Judith L. Gersting, adaptada (10,0 pts)a) A = { x / x ∈ ℕ e (∃ q) (q ∈ { 1, 2, 4, 5 } e x = 2 q 2 − 3) }b) B = { x / x ∈ ℕ e (∃ y) (∃ z) (y ∈ { 1, 2, 3 }, z ∈ { 3, 4, 5 } e y < x < z) }c) C = { x / x ∈ ℕ e x e ˊ primo e 2 < x < 15 }d) D = { x / x ∈ ℂ e x 2 + 117 = − 4 }e) E = { x / x ∈ ℤ e ∣ x ∣ < 6 }a) Para cada q ∈ { 1, 2, 4, 5 }: q = 1 ⇒ x = 2 (1) − 3 = − 1 (não pertence a ℕ, descartado); q = 2 ⇒ x = 2 (4) − 3 = 5; q = 4 ⇒ x = 2 (16) − 3 = 29; q = 5 ⇒ x = 2 (25) − 3 = 47.b) Com y ≥ 1 e z ≤ 5, a condição y < x < z só pode valer para x ∈ { 2, 3, 4 }: x = 2 com y = 1, z = 3; x = 3 com y = 1, z = 4; x = 4 com y = 1, z = 5.c) Números primos estritamente entre 2 e 15: 3, 5, 7, 11, 13 (o próprio 2 fica de fora, pois a condição é 2 < x).d) x 2 = − 117 − 4 = − 121 ⇒ x = ± − 121 = ± 11 i.e) Inteiros com valor absoluto menor que 6: de − 5 a 5.D = { − 11 i, 11 i } E = { − 5, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 }Questão 7 ITA, adaptada (10,0 pts)B = [3 0; − 1 − 2; 1 2]Assim, determine:a) A matriz Ab) A matriz A × Bc) A matriz BT × Ad) A matriz AT × Ba) Calculando a ij = 2 i − 1 (3 j − 2) para cada posição:A = [1 4 7; 2 8 14; 4 16 28]b) Multiplicando linha de A por coluna de B:A × B = [1 (3) + 4 (− 1) + 7 (1) 1 (0) + 4 (− 2) + 7 (2); 2 (3) + 8 (− 1) + 14 (1) 2 (0) + 8 (− 2) + 14 (2); 4 (3) + 16 (− 1) + 28 (1) 4 (0) + 16 (− 2) + 28 (2)] = [6 6; 12 12; 24 24]c) BT = \[3 − 1 1; 0 − 2 2]. Multiplicando linha de BT por coluna de A:BT × A = [3 (1) − 1 (2) + 1 (4) 3 (4) − 1 (8) + 1 (16) 3 (7) − 1 (14) + 1 (28); 0 (1) − 2 (2) + 2 (4) 0 (4) − 2 (8) + 2 (16) 0 (7) − 2 (14) + 2 (28)] = [5 20 35; 4 16 28]d) AT = \[1 2 4; 4 8 16; 7 14 28]. Multiplicando linha de AT por coluna de B:AT × B = [1 (3) + 2 (− 1) + 4 (1) 1 (0) + 2 (− 2) + 4 (2); 4 (3) + 8 (− 1) + 16 (1) 4 (0) + 8 (− 2) + 16 (2); 7 (3) + 14 (− 1) + 28 (1) 7 (0) + 14 (− 2) + 28 (2)] = [5 4; 20 16; 35 28]BT × A = [5 20 35; 4 16 28] AT × B = [5 4; 20 16; 35 28]Questão 8 UNIFACS, adaptada (10,0 pts)(a ij) 5 × 3 = (0 0 0; 0 1 1; 0 0 1; 0 1 1; 0 1 1)Um programador, a partir de três imagens predeterminadas, nomeadas de A, B e C, conforme ilustração a seguir, consegue construir outras imagens, usando estas primeiras e fazendo a multiplicação booleana de matrizes entre elas.Assim, desenhe a imagem que será formada quando o programador juntar (fazendo a multiplicação booleana) das figuras:a) A e Cb) B e CNa multiplicação booleana de matrizes, cada posição (i, j) do resultado é ⋁ k (a ik ∧ c kj): o E lógico entre os pares e depois o OU lógico entre os resultados. Um atalho útil: a linha i do resultado é o OU das linhas de C selecionadas pelos 1 da linha i da primeira matriz.a) As linhas de A são (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 1) e (0, 1, 1, 0).Linhas 2 e 3 de C: (0, 1, 1, 1) ∨ (1, 1, 1, 0) = (1, 1, 1, 1)Linhas 1 e 4 de C: (1, 0, 1, 0) ∨ (0, 1, 0, 1) = (1, 1, 1, 1)Como as quatro linhas de A selecionam um desses dois pares, todas as linhas do resultado são (1, 1, 1, 1), a imagem fica inteiramente branca:A × C = [1 1 1 1; 1 1 1 1; 1 1 1 1; 1 1 1 1]b) As linhas de B são (0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 0) e (0, 1, 0, 0).Linha 3 de C: (1, 1, 1, 0)Linhas 2 e 4 de C: (0, 1, 1, 1) ∨ (0, 1, 0, 1) = (0, 1, 1, 1)Linhas 1 e 3 de C: (1, 0, 1, 0) ∨ (1, 1, 1, 0) = (1, 1, 1, 0)Linha 2 de C: (0, 1, 1, 1)B × C = [1 1 1 0; 0 1 1 1; 1 1 1 0; 0 1 1 1]Questão 9 ENEM, adaptada (10,0 pts)A = [6 − 1; 2 3]A − xI = [6 − x − 1; 2 3 − x]det ⁡ (A − xI) = (6 − x) (3 − x) − (− 1) (2) = x 2 − 9 x + 18 + 2 = x 2 − 9 x + 20Igualando a 0: x 2 − 9 x + 20 = 0. Usando a fórmula de Bhaskara:Δ = 81 − 80 = 1 x = 9 ± 1 2Logo x = 5 ou x = 4.Questão 10 Escola Naval, adaptada (10,0 pts)R = [4 16 y − 1; 9 x a 0] S = [1 4 2; 9 b 1] T = [b 8 c; 27 13 − 6]Assim, quais são os valores de x, y, a, b, c que satisfazem à equação matricial R − 6 S = T?Igualando posição a posição em R − 6 S = T:{ 4 − 6 (1) = b; 16 y − 6 (4) = 8; − 1 − 6 (2) = c; 9 x − 6 (9) = 27; a − 6 b = 13Da primeira equação: b = 4 − 6 = − 2.Da segunda: 16 y = 8 + 24 = 32 ⇒ (2 4) y = 2 5 ⇒ 2 4 y = 2 5 ⇒ 4 y = 5 ⇒ y = 5 4.Da terceira: c = − 1 − 12 = − 13.Da quarta: 9 x = 27 + 54 = 81 ⇒ (3 2) x = 3 4 ⇒ 2 x = 4 ⇒ x = 2.Da quinta, com b = − 2: a − 6 (− 2) = 13 ⇒ a + 12 = 13 ⇒ a = 1.Conferindo a última posição: 0 − 6 (1) = − 6 ✓ --- Prova 2: Funções e relações Avaliação 2 de Matemática Aplicada à Computação (2024.1), com resolução comentada. Avaliação 2 de Matemática Aplicada à Computação: Instituto Federal da Paraíba, curso de Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas, 1º período, semestre 2024.1, professor Suemilton Nunes Gervázio. Cobre funções polinomiais, operações entre funções, monotonicidade, paridade, composição, inversa, injetora/sobrejetora/bijetora e relações de equivalência e de ordenação parcial. Tente cada questão sozinho antes de abrir a resposta.Questão 1 Judith L. Gersting, adaptada (10,0 pts)Passo 1. Separar os coeficientes.Escreva os coeficientes em ordem decrescente de grau, sem pular nenhum.Se algum termo estiver ausente, ele entra com coeficiente 0.p (x) = 1 x 4 − 2 x 3 − 45 x 2 − 34 x + 80 ⇒ 1, − 2, − 45, − 34, 80Passo 2. Montar o dispositivo de Briot-Ruffini.O divisor é x + 2 = x − (− 2), então a raiz usada no dispositivo é − 2.Regras do dispositivo:A raiz − 2 fica à esquerda.Os coeficientes ficam na linha de cima.O primeiro coeficiente desce sem alteração.Cada número de baixo é multiplicado pela raiz e somado ao próximo coeficiente de cima.Passo 3. Fazer as contas.baixa o 1; 1 ⋅ (− 2) + (− 2) = − 4; (− 4) ⋅ (− 2) + (− 45) = 8 − 45 = − 37; (− 37) ⋅ (− 2) + (− 34) = 74 − 34 = 40; 40 ⋅ (− 2) + 80 = 0 (resto)− 2 1 − 2 − 45 − 34 80; 1 − 4 − 37 40 0Passo 4. Ler o resultado.O último número da linha de baixo é o resto.O resto vale 0, então − 2 é raiz de p (x) e a divisão é exata.Os outros números são os coeficientes do quociente, que tem grau uma unidade menor que p (x):p (x) = (x + 2) (x 3 − 4 x 2 − 37 x + 40)O quociente é exatamente o q (x) = x 3 − 4 x 2 − 37 x + 40 do enunciado.Passo 5. Dividir q (x) por (x − 1).O enunciado diz que 1 é raiz de q (x).Mesmo processo, agora com os coeficientes 1, − 4, − 37, 40 e a raiz 1:baixa o 1; 1 ⋅ 1 + (− 4) = − 3; (− 3) ⋅ 1 + (− 37) = − 40; (− 40) ⋅ 1 + 40 = 0 (resto)1 1 − 4 − 37 40; 1 − 3 − 40 0O quociente é x 2 − 3 x − 40.Assim, p (x) fica fatorado:p (x) = (x + 2) (x − 1) (x 2 − 3 x − 40)Passo 6. Resolver o fator de grau 2 por Bhaskara.Em x 2 − 3 x − 40 = 0, temos a = 1, b = − 3 e c = − 40.Calculando o discriminante:Δ = b 2 − 4 ac = (− 3) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 40) = 9 + 160 = 169Δ = 13Aplicando a fórmula:x = − b ± Δ 2 a = 3 ± 13 2x ′ = 3 + 13 2 = 16 2 = 8 x ′ ′ = 3 − 13 2 = − 10 2 = − 5Com isso, p (x) = (x + 2) (x − 1) (x − 8) (x + 5).Passo 7. Conferir pelas relações de Girard.Para um polinômio a x 4 + b x 3 + c x 2 + dx + e:A soma das raízes é − b / a.O produto das raízes é e / a.Aqui a = 1, b = − 2 e e = 80:(− 5) + (− 2) + 1 + 8 = 2 = − − 2 1 ✓; (− 5) ⋅ (− 2) ⋅ 1 ⋅ 8 = 80 = 80 1 ✓Questão 2 Judith L. Gersting, adaptada (10,0 pts)Passo 1. Encontrar o domínio.O quociente f (x) / g (x) só existe onde g (x) ≠ 0.Resolvendo g (x) = 2 x 2 − 4 x + 5 = 0, com a = 2, b = − 4 e c = 5:Δ = (− 4) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 5 = 16 − 40 = − 24Como Δ < 0, g (x) não tem raiz real e nunca se anula.Logo não há valor a excluir, e o domínio é D = ℝ.Isso já descarta as alternativas que retiram pontos do domínio.Passo 2. Entender o método da chave.Cada rodada da divisão tem três etapas:Dividir o termo de maior grau do dividendo atual pelo termo de maior grau de g (x).Multiplicar o resultado por g (x).Subtrair esse produto do dividendo atual.O processo termina quando o que sobra tem grau menor que o de g (x), ou seja, menor que 2.Passo 3. Primeira rodada.Dividindo os termos de maior grau:6 x 4 ÷ 2 x 2 = 3 x 2Multiplicando por g (x):3 x 2 ⋅ (2 x 2 − 4 x + 5) = 6 x 4 − 12 x 3 + 15 x 2Subtraindo do dividendo:(6 x 4 − 10 x 3 + 9 x 2 + 9 x − 5) − (6 x 4 − 12 x 3 + 15 x 2); = 2 x 3 − 6 x 2 + 9 x − 5Passo 4. Segunda rodada.O novo dividendo é 2 x 3 − 6 x 2 + 9 x − 5.Dividindo os termos de maior grau:2 x 3 ÷ 2 x 2 = xMultiplicando por g (x):x ⋅ (2 x 2 − 4 x + 5) = 2 x 3 − 4 x 2 + 5 xSubtraindo:(2 x 3 − 6 x 2 + 9 x − 5) − (2 x 3 − 4 x 2 + 5 x); = − 2 x 2 + 4 x − 5Passo 5. Terceira rodada.O novo dividendo é − 2 x 2 + 4 x − 5.Dividindo os termos de maior grau:− 2 x 2 ÷ 2 x 2 = − 1Multiplicando por g (x):(− 1) ⋅ (2 x 2 − 4 x + 5) = − 2 x 2 + 4 x − 5Subtraindo:(− 2 x 2 + 4 x − 5) − (− 2 x 2 + 4 x − 5) = 0Sobrou 0, que tem grau menor que 2. A divisão terminou.Passo 6. Ler o resultado.O quociente é a soma dos termos obtidos em cada rodada: 3 x 2, x e − 1.O resto é 0, então a divisão é exata:f (x) g (x) = 3 x 2 + x − 1Passo 7. Conferir pela multiplicação.Divisor vezes quociente deve devolver o dividendo:(2 x 2 − 4 x + 5) (3 x 2 + x − 1) = 6 x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 − 12 x 3 − 4 x 2 + 4 x + 15 x 2 + 5 x − 5; = 6 x 4 − 10 x 3 + 9 x 2 + 9 x − 5 ✓Passo 8. Concluir.Quociente 3 x 2 + x − 1 e domínio D = ℝ: alternativa b).Questão 3 Judith L. Gersting, adaptada (10,0 pts)a) A função f : ℝ ⇒ ℝ, definida por f (x) = 8 x − 15, é crescente em ℝ.b) A função f : ℝ − ⇒ ℝ +, definida por f (x) = x 2, é decrescente em ℝ −.∀ x, y ∈ ℝ, se x > y, então:x > y ⇒ 8 x > 8 y ⇒ 8 x − 15 > 8 y − 15Assim f (x) > f (y). Logo f é crescente. ■Dem. b):∀ x, y ∈ ℝ −, se x < y, então y − x > 0 e y + x < 0, logo (y − x) (y + x) < 0, isto é:y 2 − x 2 < 0 ⇒ y 2 < x 2Assim f (y) < f (x), ou seja, x < y ⇒ f (x) > f (y). Logo f é decrescente em ℝ −. ■Questão 4 Judith L. Gersting, adaptada (10,0 pts)a) A função f : ℝ ⇒ ℝ, definida por f (x) = x 5 − 2 x x 9, é uma função ímpar, par ou apenas uma função?b) A função f : ℝ ⇒ ℝ, definida por f (x) = x 2 + 4 x, é uma função ímpar, par ou apenas uma função?∀ x ∈ ℝ ∗:f (− x) = (− x) 5 − 2 (− x) (− x) 9 = − x 5 + 2 x − x 9 = − (x 5 − 2 x) − x 9 = x 5 − 2 x x 9 = f (x)Assim f (− x) = f (x). Logo f é par. ■b) f é apenas uma função (nem par, nem ímpar).∀ x ∈ ℝ:f (− x) = (− x) 2 + 4 (− x) = x 2 − 4 xComparando: f (− x) ≠ f (x) (pois x 2 − 4 x ≠ x 2 + 4 x para x ≠ 0) e f (− x) ≠ − f (x) (pois x 2 − 4 x ≠ − x 2 − 4 x para x ≠ 0). Logo f não é par nem ímpar; é apenas uma função. ■Questão 5 Judith L. Gersting, adaptada (10,0 pts)Fazendo y = f (x) e isolando x:y = 5 x + 8 x − 4 ⇒ y (x − 4) = 5 x + 8 ⇒ xy − 4 y = 5 x + 8xy − 5 x = 8 + 4 y ⇒ x (y − 5) = 4 y + 8 ⇒ x = 4 y + 8 y − 5Trocando x por f − 1 (x) e y por x:Questão 6 USP-SP, adaptada (10,0 pts)a) Qual é o valor de g (5)?b) Qual é o valor de f (x), para todo x real?c) Qual é o valor de x na equação g (x) = 11?d) Qual é o valor de f (g (x)), para todo x real?b) Fazendo x = 1 na identidade f (a ⋅ x) = a ⋅ f (x), obtemos f (a) = a ⋅ f (1) para todo a real, ou seja, f é da forma f (x) = kx com k = f (1). Como f (4) = 2: 4 k = 2 ⇒ k = 1 2. Logo f (x) = 1 2 x.a) g (5) = f (5 − 1) + 1 = f (4) + 1 = 2 + 1 = 3.c) Com f (x) = 1 2 x: g (x) = 1 2 (x − 1) + 1 = 1 2 x + 1 2. Igualando a 11: 1 2 x + 1 2 = 11 ⇒ 1 2 x = 10,5 ⇒ x = 21.d) f (g (x)) = 1 2 ⋅ g (x) = 1 2 (1 2 x + 1 2) = x + 1 4.b) f (x) = x 2c) x = 21d) f (g (x)) = x + 1 4 Questão 7 Judith L. Gersting, adaptada (10,0 pts)a) A função f : (0, + ∞) ⇒ (− 4, + ∞) definida por f (x) = 3 x 2 − 4 é sobrejetora.b) A função f : ℝ ⇒ ℝ definida por f (x) = 3 x + 4 é injetora.c) A função f : ℝ ⇒ ℝ definida por f (x) = x 3 − 7 é bijetora.∀ y ∈ (− 4, + ∞), procuramos x ∈ (0, + ∞) tal que f (x) = y:y = 3 x 2 − 4 ⇒ x 2 = y + 4 3 ⇒ x = y + 4 3Como y > − 4, temos y + 4 3 > 0, logo a raiz está bem definida e x > 0, ou seja, x ∈ (0, + ∞). Conferindo:f ⁣ (y + 4 3) = 3 ⋅ y + 4 3 − 4 = y + 4 − 4 = yAssim, para todo y do contradomínio existe x no domínio com f (x) = y. Logo f é sobrejetora. ■Dem. b):∀ x, y ∈ ℝ, suponha f (x) = f (y):3 x + 4 = 3 y + 4 ⇒ 3 x = 3 y ⇒ x = yLogo f é injetora. ■Dem. c):Sobrejetora: ∀ y ∈ ℝ, tome x = y + 7 3. Então f (x) = (y + 7 3) 3 − 7 = (y + 7) − 7 = y, logo existe x para todo y.Injetora: se f (x) = f (y), então x 3 − 7 = y 3 − 7 ⇒ x 3 = y 3 ⇒ x = y (a raiz cúbica real é única).Como f é injetora e sobrejetora, f é bijetora. ■Questão 8 Judith L. Gersting, adaptada (10,0 pts)Reflexiva: (∀ x) (x ∈ ℤ ⇒ (x, x) ∈ R). Como x + x = 2 x é sempre par, (x, x) ∈ R. Logo R é reflexiva.Simétrica: (∀ x) (∀ y) (x, y ∈ ℤ, (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R). Como (x, y) ∈ R ⟺ x + y = 2 k, k ∈ ℤ, e y + x = x + y = 2 k, segue (y, x) ∈ R. Logo R é simétrica.Transitiva: (∀ x) (∀ y) (∀ z) (x, y, z ∈ ℤ, (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R). Como x + y = 2 k e y + z = 2 m, com k, m ∈ ℤ, somando: x + 2 y + z = 2 k + 2 m ⇒ x + z = 2 (k + m − y), e como k + m − y ∈ ℤ, x + z é par. Logo (x, z) ∈ R e R é transitiva.Como R é reflexiva, simétrica e transitiva, R é uma relação de equivalência. ■Questão 9 Judith L. Gersting, adaptada (10,0 pts)Vale observar antes que mdc ⁡ (x, y) = x equivale a dizer que x divide y, ou seja, y = kx para algum k ∈ ℤ +. É essa leitura que torna as três verificações diretas.Reflexiva: (∀ x) (x ∈ ℤ + ⇒ (x, x) ∈ R). Tomando k = 1, temos x = 1 ⋅ x, ou seja, x divide x e mdc ⁡ (x, x) = x. Logo (x, x) ∈ R e R é reflexiva.Antissimétrica: (∀ x) (∀ y) (x, y ∈ ℤ +, (x, y) ∈ R e (y, x) ∈ R ⇒ x = y). De (x, y) ∈ R vem y = kx e de (y, x) ∈ R vem x = my, com k, m ∈ ℤ +. Como todos são positivos, x ≤ y e y ≤ x, logo x = y. Portanto R é antissimétrica.Transitiva: (∀ x) (∀ y) (∀ z) (x, y, z ∈ ℤ +, (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R). De (x, y) ∈ R vem y = kx e de (y, z) ∈ R vem z = my, com k, m ∈ ℤ +. Substituindo, z = m (kx) = (mk) x, com mk ∈ ℤ +, ou seja, x divide z e mdc ⁡ (x, z) = x. Logo (x, z) ∈ R e R é transitiva.Como R é reflexiva, antissimétrica e transitiva, R é uma relação de ordenação parcial. ■Questão 10 Judith L. Gersting, adaptada (10,0 pts)a) Qual é a imagem de − 5?b) Quais são as pré-imagens de 0?a) f (− 5) = − 2 (− 5) 2 + 3 (− 5) + 2 = − 2 (25) − 15 + 2 = − 50 − 15 + 2 = − 63.b) Resolvendo − 2 x 2 + 3 x + 2 = 0, ou seja, 2 x 2 − 3 x − 2 = 0:Δ = (− 3) 2 − 4 (2) (− 2) = 9 + 16 = 25 x = 3 ± 5 4Logo x = 2 ou x = − 1 2.b) Pré-imagens de 0: { − 1 2, 2 }24:["$","div",null,{"className":"mx-auto w-full max-w-480 px-5 pt-10 pb-28 sm:px-8 md:pt-12 lg:px-10 xl:grid xl:grid-cols-[minmax(0,1fr)_minmax(0,75rem)_minmax(20rem,1fr)]","children":[["$","script",null,{"type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Início\",\"item\":\"https://mac-docs.vercel.app/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Matemática 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