Lista 2: Relações e funções

Lista de exercícios 2 de Matemática Aplicada à Computação, Instituto Federal da Paraíba, curso de Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas, 1º período, semestre 2026.2, professor Suemilton Nunes Gervázio. Cobre relações binárias (propriedades, ordenação e equivalência) e funções (imagem, sobrejeção, injeção, bijeção, composição, paridade, monotonicidade, raízes de polinômios e função inversa). Tente cada questão sozinho antes de abrir a resposta.

Questão 1

Sejam os conjuntos $A = \{1,2,3\}$ e $B = \{1,3,4,5\}$ de números reais e a relação definida por

R = \{(x, y) \in A \times B\ /\ y = 2x-1\}

Qual dos gráficos cartesianos seguintes representa a relação $R$ ?

x \in A

R = \{(1,1), (2,3), (3,5)\}

Questão 2

Dado o conjunto $A = \{1,3,8\}$ e as relações sobre $A$ a seguir, indique qual alternativa mostra uma relação antissimétrica. Apresentar razões segundo as quais as outras relações não são antissimétricas.

a) $R_1 = \{(1,3), (3,1), (8,1)\}$

b) $R_2 = \{(1,8), (8,8), (1,3), (8,1)\}$

c) $R_3 = \{(3,3), (1,8), (8,8), (8,1)\}$

d) $R_4 = \{(8,8), (1,3), (8,1), (1,1)\}$

x \ne y

R_4

Questão 3

Considere a relação $R = \{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2),(1,3),(1,2)\}$ no conjunto $A = \{1,2,3\}$ . Assim, responda:

a) $R$ é reflexiva?

b) $R$ é transitiva?

c) $R$ é simétrica?

(1,1),(2,2),(3,3) \in R

(2,1)

Questão 4

Considere $A = \{1, 2, 3\}$ e a relação $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\}$ . $R$ é uma relação de equivalência?

(1,1), (2,2), (3,3) \in R

R

Questão 5

No conjunto $A = \{1,2,3\}$ , a relação $S = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}$ é uma relação de equivalência?

S

S

Questão 6

Mostre que no conjunto dos números inteiros a relação $R$ definida por $xRy \iff 2$ é divisor de $x-y$ é relação de equivalência.

x - x = 0

Questão 7

Em $\mathbb{N}^{*}$ a relação definida por $xRy \iff \mathrm{mdc}(x,y) = x$ é uma relação de ordenação parcial?

\mathrm{mdc}(x,y) = x

\mathbb{N}^{*}

Questão 8

Em $\mathbb{N}^{*}$ a relação definida por $xRy \iff y = x+1$ é uma relação de ordenação parcial?

R

R

Questão 9

No conjunto $\mathbb{N}$ dos números naturais a relação $R$ definida por $xRy \iff x \cdot y$ é par é relação de equivalência?

R

R

Questão 10

No conjunto dos números inteiros a relação $R$ definida por $xRy \iff x-y$ é múltiplo de $3$ é uma relação de ordenação parcial?

R

R

Questão 11

No conjunto $\mathbb{N}$ dos números naturais a relação $R$ definida por $xRy \iff x$ é ímpar é uma relação de ordenação parcial?

R

R

Questão 12

Em $\mathbb{R}$ a relação definida por $xRy \iff y = x - 1$ é uma relação de equivalência?

R

R

Questão 13

Mostre que no conjunto $\mathbb{N}$ dos números naturais a relação $R$ definida por $xRy \iff 2x + 6y$ é par é uma relação de equivalência.

x,y \in \mathbb{N}

Questão 14

Mostre que no conjunto $\mathbb{N}$ dos números naturais a relação $R$ definida por $xRy \iff 4x - 2y$ é par é uma relação de equivalência.

x,y \in \mathbb{N}

Questão 15

Para $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = 2x^{2} - 9x + 7$ , determine:

a) Qual é a imagem de $-3$ ?

b) Quais são as pré-imagens de $0$ ?

x=-3

f(-3) = 52

Questão 16

Mostre que a função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x$ é sobrejetora.

y \in \mathbb{R}

Questão 17

Mostre que a função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x - 1$ é sobrejetora.

y \in \mathbb{R}

Questão 18

Mostre que a função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 3x$ é injetora.

x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}

Questão 19

Mostre que a função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 5x + 4$ é injetora.

x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}

Questão 20

Mostre que a função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^{3}$ é bijetora.

x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}

Questão 21

Mostre que a função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 3x$ é bijetora.

y \in \mathbb{R}

Questão 22 Unicamp 2020

Sabendo que $x$ é um número real, considere a função $f(x) = ax + 2$ definida para todo número real $x$ . Se $f(f(1)) = 1$ , então:

a $a = -1$
b $a = -\dfrac{1}{2}$
c $a = \dfrac{1}{2}$
d $a = 1$

f(1)

a = -1

Questão 23 Mackenzie, SP

As funções $f(x) = 3 - 4x$ e $g(x) = 3x + m$ são tais que $f(g(x)) = g(f(x))$ , qualquer que seja $x$ real. O valor de $m$ é:

a $\dfrac{9}{4}$
b $\dfrac{5}{4}$
c $-\dfrac{6}{5}$
d $\dfrac{9}{5}$
e $-\dfrac{2}{3}$

f(g(x)) = 3 - 4(3x+m) = 3 - 12x - 4m

m = -\dfrac{6}{5}

Questão 24

Seja $f: \mathbb{R} - \{-2\} \Rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \dfrac{2}{x+2}$ , então determine (caso exista) $f^{-1}(x)$ .

y = f(x)

f^{-1}(x) = \frac{2-2x}{x},\quad x \ne 0

Questão 25

Seja $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ uma função definida por $f(x) = 2x + 1$ , então determine (caso exista) $f^{-1}(x)$ .

y = f(x)

f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2}

Questão 26

Mostre que a função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = 2x^{4} + x^{2} - 1$ é par.

f(-x) = 2(-x)^{4} + (-x)^{2} - 1 = 2x^{4} + x^{2} - 1 = f(x)

Questão 27

Mostre que a função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = 2x + 6$ não é par.

f(-x) = 2(-x) + 6 = -2x + 6

Questão 28

Mostre que a função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = x + x^{3}$ é ímpar.

f(-x) = (-x) + (-x)^{3} = -x - x^{3} = -(x+x^{3}) = -f(x)

Questão 29

Mostre que a função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = 1 + x^{3}$ não é ímpar.

f(-x) = 1 + (-x)^{3} = 1 - x^{3}

Questão 30

Mostre que a função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = \dfrac{x^{2}-3}{x^{3}}$ é ímpar.

f(-x) = \frac{(-x)^{2}-3}{(-x)^{3}} = \frac{x^{2}-3}{-x^{3}} = -\frac{x^{2}-3}{x^{3}} = -f(x)

Questão 31

Mostre que a função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = 2x$ é crescente em $\mathbb{R}$ .

x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}

Questão 32

Mostre que a função $f: \mathbb{R}^{+} \Rightarrow \mathbb{R}^{+}$ , definida por $f(x) = x^{2}$ é crescente.

x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}^{+}

Questão 33

Mostre que a função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = -x + 2$ é decrescente em $\mathbb{R}$ .

x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}

Questão 34

Mostre que a função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = -3x + 1$ é decrescente em $\mathbb{R}$ .

x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}

Questão 35

Sejam $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ e $g: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , com $f(x) = x^{2}-2$ e $g(x) = x-6$ . Assim, determine $f(x)/g(x)$ e o seu domínio.

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^{2}-2}{x-6}

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^{2}-2}{x-6},\quad \text{domínio: } \mathbb{R} - \{6\}

Questão 36

Sejam $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ e $g: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , com $f(x) = x - 6$ e $g(x) = 1/x$ . Assim, determine $f(x) + g(x)$ e o seu domínio.

f(x) + g(x) = (x-6) + \frac{1}{x} = \frac{x(x-6)+1}{x} = \frac{x^{2}-6x+1}{x}

f(x)+g(x) = \frac{x^{2}-6x+1}{x},\quad \text{domínio: } \mathbb{R} - \{0\}

Questão 37

Sabendo que $-3$ é uma das raízes da função polinomial $p(x) = x^{4} + x^{3} - 5x^{2} + x - 6$ . Assim, quais são as outras raízes?

0

x = 2

Questão 38

Considere a função polinomial $p(x) = x^{4} - 3x^{3} + 3x^{2} - 3x + 2$ . Sabendo que $1$ é raiz dessa função, então determine todas as suas raízes.

0

p(x)

Questão 39

A função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = \dfrac{x - 2x}{x^{3}}$ é ímpar, par ou apenas uma função? Justifique a sua resposta.

x - 2x = -x

f

Questão 40

Mostre que a função $f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = -7x + 2$ é decrescente em $\mathbb{R}$ .

x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}

Questão 41

Dada a função $f(x) = 2x + 1$ , a função inversa de $f(x)$ é:

a $f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{2}$
b $f^{-1}(x) = \dfrac{x-1}{2}$
c $f^{-1}(x) = 2x-1$
d $f^{-1}(x) = \dfrac{2}{x+1}$

y = 2x+1

f^{-1}(x) = \dfrac{x-1}{2}