Prova 1: Matrizes e conjuntos

Nos três itens numeramos os termos a partir de $n = 0$ e procuramos o termo geral $f(n)$. A ferramenta é a tabela de diferenças: a linha $\Delta$ traz a diferença entre cada termo e o anterior, a linha $\Delta^{2}$ faz o mesmo sobre a linha $\Delta$, e assim por diante.

O grau do polinômio é o nível em que as diferenças ficam constantes, e essa constante vale $k!\,a$, onde $k$ é o grau e $a$ é o coeficiente líder.

a) Diferenças de $A = \{1, 0, 5, 22, 57, 116, 205, 330, \ldots\}$:

Os elementos estão listados na ordem em que $n$ os gera ($n = 0, 1, 2, \ldots$), e não em ordem crescente. A função $f$ decresce de $f(0) = 1$ para $f(1) = 0$ e só a partir daí passa a crescer, por isso o $1$ aparece antes do $0$, e por isso a primeira diferença, $0 - 1$, é negativa. Nos itens b) e c) isso não acontece porque lá $f$ cresce desde $n = 0$.

As terceiras diferenças são constantes e iguais a $6$, logo o termo geral é de $3°$ grau, com coeficiente líder $6/3! = 1$:

Subtraindo $b+c=-2$ de $2b+c=-2$: $b = 0$, logo $c = -2$.

Conferindo com o último termo listado: $f(7) = 343 - 14 + 1 = 330$ ✓

b) Diferenças de $B = \{-4, -2, 4, 14, 28, 46, 68, \ldots\}$:

As segundas diferenças são constantes e iguais a $4$, logo o termo geral é de $2°$ grau, com coeficiente líder $4/2! = 2$:

c) Diferenças de $C = \{2, 5/2, 3, 7/2, 4, 9/2, 5, 11/2, \ldots\}$:

As primeiras diferenças já são constantes e iguais a $\tfrac{1}{2}$, logo o termo geral é de $1°$ grau, com coeficiente líder $\tfrac{1}{2}/1! = \tfrac{1}{2}$:

Para $\#$ ser uma operação unária em $\mathbb{Z}$, é preciso que, para todo $x \in \mathbb{Z}$, o valor $x^{\#}$ exista, seja único e pertença a $\mathbb{Z}$. Basta, então, exibir um único inteiro em que alguma dessas condições falhe.

a) Para cada $q \in \{1,2,4,5\}$: $q=1 \Rightarrow x=2(1)-3=-1$ (não pertence a $\mathbb{N}$, descartado); $q=2 \Rightarrow x=2(4)-3=5$; $q=4 \Rightarrow x=2(16)-3=29$; $q=5 \Rightarrow x=2(25)-3=47$.

b) Com $y \ge 1$ e $z \le 5$, a condição $y<x<z$ só pode valer para $x \in \{2,3,4\}$: $x=2$ com $y=1,z=3$; $x=3$ com $y=1,z=4$; $x=4$ com $y=1,z=5$.

c) Números primos estritamente entre $2$ e $15$: $3, 5, 7, 11, 13$ (o próprio $2$ fica de fora, pois a condição é $2 < x$).

d) $x^{2} = -117-4 = -121 \Rightarrow x = \pm\sqrt{-121} = \pm 11i$.

e) Inteiros com valor absoluto menor que $6$: de $-5$ a $5$.

a) Calculando $a_{ij} = 2^{i-1}(3j-2)$ para cada posição:

b) Multiplicando linha de $A$ por coluna de $B$:

c) $B^{T} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \end{bmatrix}$. Multiplicando linha de $B^{T}$ por coluna de $A$:

d) $A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 4 & 8 & 16 \\ 7 & 14 & 28 \end{bmatrix}$. Multiplicando linha de $A^{T}$ por coluna de $B$:

Na multiplicação booleana de matrizes, cada posição $(i,j)$ do resultado é $\bigvee_k (a_{ik} \wedge c_{kj})$: o E lógico entre os pares e depois o OU lógico entre os resultados. Um atalho útil: a linha $i$ do resultado é o OU das linhas de $C$ selecionadas pelos $1$ da linha $i$ da primeira matriz.

a) As linhas de $A$ são $(0,1,1,0)$, $(1,0,0,1)$, $(1,0,0,1)$ e $(0,1,1,0)$.

Linhas $2$ e $3$ de $C$: $(0,1,1,1) \vee (1,1,1,0) = (1,1,1,1)$

Linhas $1$ e $4$ de $C$: $(1,0,1,0) \vee (0,1,0,1) = (1,1,1,1)$

Como as quatro linhas de $A$ selecionam um desses dois pares, todas as linhas do resultado são $(1,1,1,1)$, a imagem fica inteiramente branca:

b) As linhas de $B$ são $(0,0,1,0)$, $(0,1,0,1)$, $(1,0,1,0)$ e $(0,1,0,0)$.

Linha $3$ de $C$: $(1,1,1,0)$

Linhas $2$ e $4$ de $C$: $(0,1,1,1) \vee (0,1,0,1) = (0,1,1,1)$

Linhas $1$ e $3$ de $C$: $(1,0,1,0) \vee (1,1,1,0) = (1,1,1,0)$

Linha $2$ de $C$: $(0,1,1,1)$

Igualando a $0$: $x^{2} - 9x + 20 = 0$. Usando a fórmula de Bhaskara:

Logo $x = 5$ ou $x = 4$.

Igualando posição a posição em $R - 6S = T$:

Da primeira equação: $b = 4 - 6 = -2$.

Da segunda: $16^{y} = 8 + 24 = 32 \Rightarrow (2^{4})^{y} = 2^{5} \Rightarrow 2^{4y} = 2^{5} \Rightarrow 4y = 5 \Rightarrow y = \tfrac{5}{4}$.

Da terceira: $c = -1 - 12 = -13$.

Da quarta: $9^{x} = 27 + 54 = 81 \Rightarrow (3^{2})^{x} = 3^{4} \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.

Da quinta, com $b=-2$: $a - 6(-2) = 13 \Rightarrow a + 12 = 13 \Rightarrow a = 1$.

Conferindo a última posição: $0 - 6(1) = -6$ ✓